第六章 平面向量及其应用（知识通关详解）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第二册）

第六章平面向量及其应用（知识通关详解） 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 例1：1．下列命题中正确的个数是（    ） ①起点相同的单位向量，终点必相同； ②已知向量，则四点必在一直线上； ③若，则； ④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. A．0 B．1 C．2 D．3 2.如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： (1)与相等的向量有哪些？ (2)的相反向量有哪些？ (3)与的模相等的向量有哪些？ .举一反三 1．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量只有大小没有方向 B． C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等 2．（多选）给出下列命题正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．对于任意向量，必有 3．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线 C．零向量的长度为0 D．方向相反的两个非零向量必不相等 4．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是________． 5．下列各量中，向量有：______．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度． 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 例2：1．如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量． 2．计算： （1）； （2）； （3）． 举一反三 1.化简：=______． 2．化简：___________. 3.在中，，且，则（       ） A．2 B． C． D． 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 例3：1．（2021·山西临汾·一模（理））已知，，，则（　　） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 2．如图，，不共线，且，用，表示． 举一反三 1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则k＝________. 2.（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知向量，，若，则（       ） A． B．2 C．8 D． 4．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 例4：1．已知矩形中，为边中点，线段和交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）在菱形中，为的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 举一反三 1．在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．8 2．（多选）设向量，平面内任一向量都可唯一表示为（），则实数的可能取值是（    ） A．2 B．3 C．1 D．0 3．如图，向量、、的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则________． 5．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量