数列前n项和方法与题型全归纳讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列求和题型全归纳 题型一：公式法;已知数列为特殊数列如等差数列或者等比数列 (1)等差数列求和公式：Sn＝＝na1＋d； (2)等比数列求和公式： 例1：已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________. 例2：已知等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则满足不等式的的最小值为__________. 题型二：分组转化求和法：当一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 方向一：分组求和求数列前项和. 例1：已知数列的通项公式，则其前项和___________. 例2：在数列中，为它前项和，已知，，且数列是等比数列，则＝__________． 变式1：已知数列中，. (1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和. 方向二：分组求和证明不等式. 例1：（多选题）已知数列是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公比的等比数列，设，，则下列结论正确的为（ ） A． B． C． D．若，则的最大值为 题型三：裂项相消法；把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 解题思路：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步 巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式； 第三步 消项求和：即把握消项的规律，准确求和. 使用特征：1.分式：分母可以写成两个因式相乘 2.检验：检验是否可以裂项 分母中两个因式：a= 判断a是不是为常数，如果是则可以裂项，裂成 知识储备：①＝－. ②＝ ③＝. ④＝－. ⑤＝。 方向一：利用裂项相消求数列前项和. 例1：已知等差数列的前项和为，若，，则数列的前2021项和为___________. 例2：已知数列的前n项和满足，且. （1）求数列的前n项和及通项公式； （2） 记，为的前n项和，求． 变式1：已知数列满足，，则数列的前n项和______． 变式2：已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和． 变式3：已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 变式4：已知等比数列的前n项和为若，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 变式5：学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃.欲将轻骑逐，大雪满弓刀.”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情.这首诗历代传诵，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归.月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数.现设记，则数列的前项和___________. 方向二：裂项求和与不等式证明 例1：已知数列{an}，{bn}，{cn}满足． （1）若{bn}为等比数列，公比，且，求q的值及数列{an}的通项公式； （2）若{bn}为等差数列，公差，证明：． 例2：已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且） （1）求数列的通项公式； （2）证明：当时， 变式1：已知数列的前n项和为，且，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证：． 变式2：已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：. 题型四：错位相减法；如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 使用条件：等差数列x等比数列（或者） 或者一次函数x指数函数（或者） （等差数列的通项公式为关于n的一次函数，等比数列的通项公式是指数函数） 解题三步骤：前n项和Sn=----① qSn=.....② ①-②得到：中间一定会用到等比数列的求和公式 解题思路： 第一步 ：巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式； 第二步 确定等差、等比数列的通项公式； 第三步 构差式：即写出的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差； 第四步 求和：根据差式的特征准确求和. 方向一：利用错位相减法求数列前项和. 例1：设是公比不为1的等比