上海市行知中学2021-2022学年高三下学期期中考试数学试卷

上海市行知中学2021-2022学年高三下期中数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知集合，，则　　． 2.　　． 3.二项展开式第六项的系数为　　． 4.公比为的无穷等比数列各项的和为，则　　． 5.如图为某一圆柱的三视图，则该圆柱的侧面积为　　． 6.已知非负实数、满足，则的最小值为　　． 7.函数，的反函数为　　． 8.某校5位同学报考了交通大学“强基计划”专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入数学、物理学、化学这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有该校学生的概率是　　（结果用最简分数表示）． 9.已知，若，则　　． 10.函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　． 11.若正实数、满足，则的最小值为　　． 12.已知中，，，点为线段的动点，动点满足，则的最小值等于　　． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13.有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的　　 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 14.关于、的方程组有无穷多组解，则下列说法错误的是　　 A． B． C． D． 15.已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 16.已知函数，，若不等式的解集为，其中，则的最大值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.如图，在三棱柱中，平面，，，，点、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 18.已知函数，，，，它们的最小正周期为. （1）若是奇函数，求和在上的公共递减区间； （2）若的一个零点为，求的最大值. 19.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． （1）求关于的函数解析式； （2）记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值． 20.已知抛物线:和圆:，抛物线的焦点为F. （1）求的圆心到的准线的距离；x y （2）若点在抛物线上，且满足，过点作圆的两条切线，记切点为、，求四边形的面积的取值范围； （3）如图，若直线与抛物线和圆依次交于、、 、四点，证明：“”的充要条件 是“直线的方程为”. 21.设数列与满足: 的各项均为正数， . （1）设， 若是无穷等比数列， 求数列的通项公式; （2）设. 求证: 不存在递减的数列， 使得是无穷等比数列; （3）当时， 为公差不为0的等差数列且其前的和为0; 若对任意满足条件的数列， 其前项的和均不超过， 求正整数的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市行知中学2021-2022学年高三下期中数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知集合，，则　　． 【解析】因为，， 所以． 2.　　． 【解析】因为， 所以． 3.二项展开式第六项的系数为　　． 【解析】二项展开式的第六项为， 所以二项展开式第六项的系数为． 4.公比为的无穷等比数列各项的和为，则　　． 【解析】公比为的无穷等比数列各项的和为， 则，变形得． 5.如图为某一圆柱的三视图，则该圆柱的侧面积为　　． 【解析】该几何体为底面半径为0.3米，高为0.6米的圆柱， 所以圆柱的侧面积． 6.已知非负实数、满足，则的最小值为　　． 【解析】故不等式组表示的可行域如图阴影部分所示， 其中直线与轴，轴的交点分别为， 令，则的几何意义为可行域中的点到直线的距离， 由图像得点到直线的距离最近， 故的最小值为，所以的最小值为． 7.函数，的反函数为　　． 【解析】当时，，即的值域为， 因为，， 所以，（舍去）， 的反函数，． 8.某校5位同学报考了交通大学“强基计划”专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入数学、物理学、化学这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有该校学生的概率是　　（结果用最简分数表示）． 【解析】基本事件总数， 这三个专业都有该校学生包含的情况有两种， 各个专业的学生数分别为1，1，3和2，2，1， 这三个专业都有该校学生包含的基本事件个数， 则这三个专业都有该校学生的概率是． 9.已知，若，则　　． 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 所以． 10.函数在上单调递增，