2023年中考数学压轴题专题 ：四点共圆 精讲精练

中考压轴题之四点共圆问题精讲精练 一.选择题 1.如图,圆内接四边形的外角为,则度数为 A. B. C. D. (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图,在中,,,,为边上的一个动点,为上的一个动点,连接,当时,线段的最小值是 A. B.2 C. D. 3.如图,在矩形中,,,点在矩形的内部,连接,,,若,则的最小值是 A.6 B. C. D. 4.如图,在矩形中,,,点在上,,在矩形内找一点,使得,则线段的最小值为 A. B. C.4 D. 5.如图,,,点在内部且,则的最大值 A. B.8 C.10 D. 二.填空题 6.在中,,,则的最大值为 . 7.如图,是矩形内一点,,,,则当线段最短时, . 8.如图,,,点、分别是线段、射线上的动点,以为斜边向上作等腰,,连接,则的最小值为 . 9.在中,,,点是线段上一点,过作,交于,连接,点是的中点,连接交于点.若,,则 . 10.如图,和均为直角三角形,,,连接.若,则的长为 . 11.如图,在四边形中,,,则四边形面积的最大值为 . 12.如图,在和中,,,则的最大值为 . 13.如图,中,,,点是的中点,点,分别为,边上的点,且,连接,则的度数为 . 14.如图,以为公共顶点的和中,,,且点在线段上,则 ,若,,则 . 三.解答题 15.【问题原型】如图①,在中,弦所对的圆心角,点在优弧上运动(点不与点、重合),连结、. (1)在点运动过程中,的度数是否发生变化?请通过计算说明理由. (2)若,求弦的最大值. 【问题拓展】如图②,在中,,.若、分别是、的中点,则线段的最大值为 . 16.【问题提出】九年级(上册)教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题: 1.如图(1),在的内接四边形中,是的直径.与、与有怎样的数量关系? 2.如图(2),若圆心不在的内接四边形的对角线上,问题(1)中发现的结论是否仍然成立? (1)小明发现问题1中的与、与都满足互补关系,请帮助他完善问题1的证明: 是的直径, ,,四边形内角和等于, . (2)请回答问题2,并说明理由; 【深入探究】如图(3),的内接四边形恰有一个内切圆,切点分别是点、、、,连接,. (3)直接写出四边形边满足的数量关系 ; (4)探究、满足的位置关系; (5)如图(4),若,,,请直接写出图中阴影部分的面积. 17.综合与实践:“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动,得出结论:对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究. 提出问题: 如图1,在线段同侧有两点,,连接,,,,如果,那么,,,四点在同一个圆上. 探究展示:如图2,作经过点,,的,在劣弧上取一点(不与,重合),连接,,则(依据 点,,,四点在同一个圆上(对角互补的四边形四个顶点共圆) 点,在点,,所确定的上(依据 点,,,四点在同一个圆上 反思归纳:(1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么? 依据 ;依据 . (2)如图3,在四边形中,,,则的度数为 . 拓展探究:(3)如图4,已知是等腰三角形,,点在上(不与的中点重合),连接.作点关于的对称点,连接并延长交的延长线于,连接,. ①求证:,,,四点共圆; ②若,的值是否会发生变化,若不变化,求出其值;若变化,请说明理由. 18.如图,在矩形中,点为边的中点,点为上的一个动点,连接并延长,交的延长线于点,以为底边在下方作等腰,且. (1)如图①,若点恰好落在上,连接,. ①求证:; ②若,,求的面积; (2)如图②,点落在矩形内,连接,若,,求四边形面积的最大值. 19.如图,是等边三角形,以为腰在右侧作等腰,点与点重合,连接. (1)如图①,过点作于点,若. ①求证:; ②已知,求的周长; (2)如图②,若,将绕点逆时针旋转,使点落在的延长线上.现内有一点,连接,,,作的垂直平分线交的延长线于点,交于点,直线恰好过点.若,当取得最大值时,求的长. 20.如图,在中,以为直径作交于点,交于点,,过点作于点,的延长线交的延长线于点,连接. (1)求证:是的切线; (2)求证:; (3)若,,求的值. 参考答案 一.选择题 1.解:四边形为圆内接四边形, , ,,故选:. 2.解:,, ,,, 取的中点,连接,,, ,, 的最小值为,故选:. 3.解:四边形是矩形,, ,,, ,点在以为直径的圆上运动,设圆心为,连接交于,此时最小, , 的最小值为,故选:. 4.解:如图,在的上方,作,使得,,连接,过点作于,于. ,点的运动轨迹是以为圆心,为半径的,当点落在线段上时,的值最小,四边形是矩形,,,,, ,,, ,,,, ,,, 四边形是矩形,,, ,,, 的最小值,故选:. 5.解:如图,连接,,在上取点使, ,,, ,,,,四点共圆,,, 是等边三