17.2 勾股定理的逆定理（培优讲义）-2022-2023学年八年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（人教版）

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 17.2 勾股定理逆定理 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 知识点01：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 　 （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 知识点02：勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 知识点03：勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段. 【典例分析01】（2023八上·郑州期末）如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段，，.现在取出这三条线段，，首尾相连拼三角形.下列判断正确的是（　　） A．能拼成一个锐角三角形 B．能拼成一个直角三角形 C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形 【答案】B 【规范解答】解：由题意得：， ∴， ∴三条线段，，首尾相连拼三角形是直角三角形. 故答案为：B. 【思路引导】根据勾股定理分别求出AB2、BC2、CD2，然后利用勾股定理逆定理进行判断. 【典例分析02】（2022八上·德惠期末）下列三角形中，不是直角三角形的是（　　） A．中， B．中，， C．中， D．中，三边之比为 【答案】A 【规范解答】解：A、中，，设， 则：，解得：， ∴， ∴不是直角三角形，符合题意； B、中，，则：， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、中，，则：，∴是直角三角形，不符合题意； D、中，三边之比为， 设三角形的三边长分别为：， ∵， ∴是直角三角形，不符合题意； 故答案为：A． 【思路引导】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。 【随堂演练01】（2022七上·咸阳月考）如图，在中，. （1）判断的形状，并说明理由； （2）若点为线段上一点，连接BP，且BP=CP，求AP的长. 【随堂演练02】（2022八上·龙岗期末）下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．7，24，25 B．8，15，17 C．5，11，12 D．3，4，5 【典例分析03】（2022八上·大田期中）下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，9，10 D．9，40，41 【答案】C 【规范解答】解：A.，且3， 4，5都是正整数，所以3，4，5是勾股数，此选项不符合题意； B.，且5，12，13都是正整数，所以5，12，13是勾股数，此选项不符合题意； C.，所以8，9，10不是勾股数，此选项符合题意； D.，且9，40，41都是正整数，所以9，40，41是勾股数，此选项不符合题意； 故答案为：C. 【思路引导】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可. 【典例分析04】（2022八下·同江期末）下列各组数是勾股数的是（　　） A．5，12，14 B．6，8，12 C．4，5，6 D．7，24，25 【答案】D 【规范解答】解：A、∵，∴5，12，14不是勾股数，故不符合题意； B、∵，∴6，8，12不是勾股数，故不符合题意； C、∵，∴4，5，6不是勾股数，故不符合题意； D、∵，∴7，24，25是勾股数，故符合题意． 故答案为：D． 【思路引导】根据勾股定理逆定理计算求数判断是否是勾股数． 【随堂演练03】（2022八下·广州期末） （1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【随堂演练04】（2022八下·合肥期末）早在我国西汉时期算书《周脾算经》就有“勾三股四弦五