17.1 勾股定理（培优讲义）-2022-2023学年八年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（人教版）

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 17.1 勾股定理 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 知识点01：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 　 （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 知识点02：勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 知识点03：勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段. 【典例分析01】（2022八上·拱墅月考）如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则 等于(　　) A．9 B．35 C．45 D．无法计算 【答案】C 【规范解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2+MD2＝AB2-AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2-AD2+MD2， ∴MC2-MB2＝（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）＝AC2-AB2 又∵AB=6，AC=9， ∴MC2-MB2＝45． 故答案为：C． 【思路引导】在Rt△ABD和Rt△ADC中分别表示出BD2和CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别表示出BM2和MC2，然后等量代换并作差得到MC2-MB2＝AC2-AB2，再代入数据计算即可. 【典例分析02】（2022八上·拱墅月考）已知：如图，的面积为，，现将沿直线向右平移个单位到的位置． （1）求边上的高； （2）若， 求线段的长； 连接，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）解：如图，作AM⊥BC于M， ∵△ABC的面积为84， ∴·BC·AM＝84， 解得：AM＝8，即BC边上的高为8. （2）解：①∵在Rt△ABM中，AB=10，AM=8， ∴BM＝＝6， ∴CM＝BC-BM＝15， 在Rt△ACM中，AC＝＝17， 由平移的性质可知，DF＝AC＝17； ②当AB＝BE＝10时， ∴a＝BE＝10； 当AB＝AE＝10时，BE＝2BM＝12， ∴a＝BE＝12； 当EA＝EB＝a时，则ME＝a-6， 在Rt△AME中，AM2+ME2＝AE2， ∴82+（a-6）2＝a2， 整理，解得：a＝， ∴当△ABE是等腰三角形时，a的值为10或12或. 【思路引导】（1）作AM⊥BC于M，根据三角形的面积公式计算即可； （2）①根据勾股定理求出BM、AC，再由平移的性质解答；②分AB＝BE、AB＝AE、EA＝EB三种情况，根据勾股定理计算即可． 【随堂演练01】（2023八上·郑州期末）如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段，，.现在取出这三条线段，，首尾相连拼三角形.下列判断正确的是（　　） A．能拼成一个锐角三角形 B．能拼成一个直角三角形 C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形 【随堂演练02】（2022八上·兴平期中）如图，正方形网格中的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上，判断的形状，并说明理由． 【典例分析03】（2022八上·长春期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容． （1）请结合图①，写出完整的证明过程； （2）如图②，在等腰直角三角形中，，，P是射线BC上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点D作于点E，当时，则　 　． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【规范解答】解：（2）如图②，过点A作于H， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 【思路引导】（1）