16.2 二次根式的乘除（培优讲义）-2022-2023学年八年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（人教版）

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 16.2 二次根式的乘除 1、 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算. 2、 了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. 重点：依据运算法则进行熟练的计算。 难点：根式运算与分式运算的综合问题。 知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: 　　（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面. 知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根 1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。 要点诠释： 　　(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. 　　(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质: 　　（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 要点诠释： 　　运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 知识点三、最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 【典例分析01】（2022春•牟平区期中）若成立，则m的值可以是（　　） A．﹣4 B．2 C．4 D．5 【思路引导】根据二次根式有意义的条件进行分析即可． 【规范解答】解：∵成立， ∴m+3≥0，4﹣m＞0， 解得m≥﹣3，m＜4， 即﹣3≤m＜4， 故符合的只有2． 故选：B． 【考察注意点】本题主要考查二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【典例分析02】（2022秋•宁强县期末）计算×的结果是　2　． 【思路引导】利用二次根式的乘法公式，直接计算即可． 【规范解答】解：原式＝＝＝2． 故答案为：2． 【考察注意点】本题考查了二次根式的乘法，题目比较简单，掌握×＝是解决本题的关键． 【随堂演练01】（2022春•牟平区期中）（1）把根式化成最简二次根式． （2）计算：． 【随堂演练02】（2022春•宁武县期末）计算： （1）； （2）． 【典例分析03】（2022春•广西月考）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【思路引导】根据倒数的定义解答即可． 【规范解答】解：+1的倒数是＝﹣1． 故选：C． 【考察注意点】本题考查的是实数，熟知倒数的定义是解题的关键． 【典例分析04】（2022秋•徐汇区期末）计算：＝　　． 【思路引导】分子分母同乘以﹣，再化简即可． 【规范解答】解：＝＝． 故答案为：． 【考察注意点】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． 【随堂演练03】（2022春•乳山市期末）【材料阅读】 把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简． 解：． 上述化简的过程，就是进行分母有理化． 【问题解决】 （1）化简的结果为：　2+　； （2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为：　﹣　； （3）若有理数a，b满足，求a，b的值． 【随堂演练04】（2022春•香河县期中）若M，N分别代表两个多项式，且M+N＝2a2，M﹣N＝2ab． （1）求多项式M和N． （2）当a＝+1，b＝﹣1时，求分式的值． 【典例分析05】（2022秋•南关区校级期末）下列二次根式中与是同类二次根式的是（