16.1 二次根式（培优讲义）-2022-2023学年八年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（人教版）

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 16.1 二次根式 1.理解二次根式的意义。 2.掌握二次根式的几个运算性质。 重点：掌握二次根式的运算性质 难点：掌握运算性质的推导过程 考点1 二次根式的定义 形如的代数式叫二次根式 （1） 式子中含有二次根号“”； （2） 可以表示数也可以表示代数式 （3） 二次根式表示非负数的算术平方根，，即二次根式的两个非负性 考点2 二次根式的主要性质 （1） （2） （3） （4） 二次根式的性质是根式化简的依据。 考点3 最简二次根式 被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式。 最简二次根式的条件： ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 【典例分析01】（2022秋•宛城区校级期末）若是二次根式，则x应满足（　　） A．x≥2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≠2 【思路引导】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【规范解答】解：由题意可知：x﹣2≥0， x≥2 故选：A． 【考察注意点】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 【典例分析02】（2022春•合川区校级期中）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B．π C． D． 【思路引导】根据二次根式的定义判断即可． 【规范解答】解：A、﹣5＜0，二次根式无意义，故此选项不符合题意； B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意； C、当a＜0时，二次根式无意义，故此选项不合题意； D、是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【考察注意点】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式是解题的关键． 【随堂演练01】（2022春•西华县期中）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： （1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝　　； （2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值． 【随堂演练02】已知二次根式． （1）求x的取值范围； （2）求当x＝﹣2时，二次根式的值； （3）若二次根式的值为零，求x的值． 【典例分析03】（2022秋•金牛区校级期末）如果，那么x+y的平方根为 　±　． 【思路引导】根据二次根式中的被开方数是非负数可得x﹣2＝0，可得x和y的值，再解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴x﹣2≥0，2﹣x≥0， ∴x﹣2＝0， ∴x＝2， ∴y＝3， ∴x+y＝2+3＝5， ∴x+y的平方根为±． 故答案为：±． 【考察注意点】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 【典例分析04】（2022春•龙岩校级月考）（1）已知a、b为实数，且＝b+4，求a、b的值． （2）已知实数a满足|2021﹣a|+＝a，求a﹣20212的值． 【思路引导】（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而可得出b的值； （2）根据二次根式有意义的条件可得出a≥2022，然后根据绝对值的性质对原等式进行化简即可求出答案． 【规范解答】解：（1）由题意， ∴a＝5， ∴b+4＝0， ∴b＝﹣4； （2）由题意得，a﹣2022≥0， ∴2021﹣a＜0， ∴原式可化为a﹣2021+＝a， ∴＝2021， ∴a﹣2022＝20212， ∴a﹣20212＝2022． 【考察注意点】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中被开方数是非负数是解题的关键． 【随堂演练03】（2022春•潍坊期中）已知．求﹣x﹣3y的立方根． 【随堂演练04】（2022春•清城区期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0． 解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），∴x2﹣4＞0可化为（x+2）（x﹣2）＞0． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①，② 解不等式组①，得x＞2，解不等式组②，得x＜﹣2， ∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2， 即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x2﹣25＞0的解集为 　 ； （2）求使代数式有意义的x的取值范围； （3）试解不等式≤0． 【典例分析05】（2022秋•桐柏县期末）下列式子正确的是（　　） A． B． C．＝﹣1 D． 【思路引导】利用开平方的性质和开立方的性质计算． 【规范解答】解：根据二次根式的性质： A、，故A错误； B、，故B错误； C、属于立方根的运算，故C正确； D、＝2，故D错误． 故选：C． 【考察注意点