2.4.3 向量与夹角教学设计-2022-2023学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第二章 空间向量与立体几何 2．4．3　向量与夹角 新课程标准解读 核心素养 1．能用向量方法解决简单夹角问题 直观想象、数学运算 2．通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 直观想象、数学运算 教学设计 一、目标展示 二、情境导入 日常生活中，很多场景中都有直线与平面、平面与平面成一定角度的现象．例如，如图(1)，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度；如图(2)，地球仪的地轴(即旋转轴)与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面成一定角度；如图(3)，在建造大坝时，为了加固大坝，大坝外侧的平面一般与水平面成一定角度；如图(4)，很多屋顶都是二面角的形象． 问题　你能找到生活中更多类似的例子吗？怎样刻画直线与平面、平面与平面所成的角呢？ 三、合作探究 知识点一　直线与直线的夹角 　设两条异面直线a与b所成的角为θ，它们的方向向量分别是v1，v2，设v1与v2的夹角为φ.根据异面直线所成角的定义，可知θ与φ的关系是θ＝ 对于上述两种情况，均有cos θ＝|cos φ|＝|cos〈v1，v2〉|＝． 知识点二　直线与平面所成的角 　当直线l与平面α相交且不垂直时，设它们所成的角为θ，v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，v与n的夹角为φ，那么θ与φ有如下关系： θ＝ 当l∥α或l⊂α时，θ＝0，φ＝； 当l⊥α时，θ＝，φ＝0或π. 对于上述情况，均有sin θ＝|cos φ|＝|cos〈v，n〉|＝． 知识点三　两个平面所成的角 　设两个平面α1和α2所成的角为θ，平面α1，α2的法向量分别为n1和n2，记〈n1，n2〉＝φ，如图，则θ与φ有如下关系： θ＝ 对于上述两种情况，均有cos θ＝|cos φ|＝|cos〈n1，n2〉|． 四、精讲点拨 【例1】　在三棱锥P­ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P­BC­A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　) A.　　　　 B． C. D． 【例2】　正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1的夹角． 【例3】　(2021·新高考全国Ⅱ卷)在四棱锥Q ­ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3． (1)证明：平面QAD⊥平面ABCD； (2)求二面角B­QD­A的平面角的余弦值． 五、达标检测 1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为(　　) A．30°　　　　　 B．45° C．90° D．60° 2．如图，在四棱锥P­ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3．点E在棱PA上，且PE＝2EA.则二面角A­BE­D的余弦值为________． 3．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，AA1＝，则直线AA1与平面AB1C1所成角的大小为________． 六、课堂小结 1.异面直线所成的角; 2.直线和平面所成的角； 3.二面角(两个平面所成的角). 课后作业 教后反思 教学札记 学科网（北京）股份有限公司 $