2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量 教学设计-2022-2023学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第二章 空间向量与立体几何 2．4　空间向量在立体几何中的应用 2．4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量 新课程标准解读 核心素养 1.能用向量语言表述直线和平面 数学抽象 2.理解直线的方向向量与平面的法向量 数学抽象 3.会求直线的方向向量与平面的法向量 数学运算、直观想象 教学设计 一、目标展示 二、情境导入 如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1. 问题　(1)怎样借助空间向量来表示空间点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1? (2)设＝v，如果只借助v，能不能确定直线AB在空间中的位置？ (3)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点和直线的位置？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三、合作探究 知识点一　位置向量 　在空间中，取一定点O作为原点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示，_称为点P的位置向量． 知识点二　直线的方向向量 1．一般地，如果非零向量v与直线l平行，就称v为l的方向向量． 2．已知空间直线l上一个定点A以及这条直线的一个方向向量，就可以确定这条空间直线的位置． 3．一条直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是相互平行的；直线l的方向向量v也是所有与l平行的直线的方向向量． 知识点三　平面的法向量 1．如果非零向量n所在直线与平面α垂直，则称n为平面α的法向量． 2．给定一点A和一个向量n，那么，过点A，且以向量n为法向量的平面是完全确定的． 3．一个平面的法向量有无穷多个．由于垂直于同一平面的直线是平行的，因而一个平面的所有法向量互相平行． 四、精讲点拨 【例1】　已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： ①AP∶PB＝1∶2； ②AQ∶QB＝2∶1. 求点P和点Q的坐标． 【例2】　(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝(　　) A．0　　　　　　　　　　　 B．1 C. D．3 (2)在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． 【例3】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，求平面GEF的一个法向量． 五、达标检测 1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　) A．(0，－3，1) B．(2，0，1) C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1) 六、课堂小结 1.确定空间中点的位置； 2.直线的方向向量； 3.求平面的法向量. 课后作业 教后反思 教学札记 学科网（北京）股份有限公司 $