2.2 空间向量及其运算（第二课时）教学设计-2022-2023学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第二章 空间向量与立体几何 2．2　空间向量及其运算 第二课时　向量的数量积 新课程标准解读 核心素养 1.掌握空间向量的数量积 数学抽象 2.能运用向量的数量积判断两向量的垂直及平行 数学运算 教学设计 一、目标展示 二、情境导入 我们在前面已经学习了两个平面向量a和b的数量积的定义、性质及运算． 问题　(1)平面向量的数量积a·b是如何定义的？满足哪些运算律？ (2)类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 三、合作探究 知识点一　空间向量的夹角 如图，由于空间任意两个向量a，b都可以平移到同一个平面OAB内，因此与平面向量夹角的定义一样，我们把∠AOB称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其取值范围为[0，π]． 知识点二　空间向量的数量积 1．定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积． 2．当a，b都不为0时，它们有确定的夹角〈a，b〉∈[0，π]． 3．当a＝0或b＝0时，夹角〈a，b〉可以在[0，π]中任意选定，但总有a·b＝． 4．特别地，a·a＝|a|2，|a|＝，a·b＝0⇔a⊥b． 5．零向量与任意向量垂直．对于两个非零向量a，b，由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉得cos〈a，b〉＝. 知识点三　空间向量的数量积的运算律 1．(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. 2．a·b＝b·A．(交换律) 3．a·(b＋c)＝a·b＋a·c．(分配律) 知识点四　投影向量 1．如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得＝a，＝b，〈a，b〉＝α.过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则为在方向上的投影向量，投影向量的模||＝|||cos α|称为投影长．称||cos α为在方向上的投影，其正负表示与方向相同还是相反． 2．a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|cos_α的乘积，也等于b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cos_α的乘积． 四、精讲点拨 【例1】　已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求： (1)·； (2)(＋)·(＋)． (变条件，变设问)在本例条件下，若E，F分别是OA，OC的中点，求值： (1) ·；(2)·；(3)·. 【例2】　已知四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面ABCD是边长为1的菱形，且∠C′CB＝∠C′CD＝∠BCD＝，DD′＝2. (1)求向量DD′在方向上的投影向量； (2)求在－方向上的投影数量． 【例3】　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【例4】　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 【例5】　已知正方形ABCD，ABEF的边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜)． (1)求线段MN的长； (2)当a为何值时，线段MN最短？ 五、达标检测 1．(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有(　　) A．a2＝|a|2 B．＝ C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 2．已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 4．已知空间向量a，b，c中每两个向量的夹角都是，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，则|a＋b＋c|＝________． 六、课堂小结 1.空间向量数量积的运算; 2.投影数量与投影向量; 3.利用空间向量的数量积求夹角; 4.利用空间向量的数量积证明垂直. 课后作业 教后反思 教学札记 学科网（北京）股份有限公司 $