1.1 导数概念及其意义 教学设计-2022-2023学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第一章 导数的应用 1．1　导数概念及其意义 1．1．1　函数的平均变化率　1．1．2　瞬时变化率与导数 新课程标准解读 核心素养 1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想 数学抽象 2．体会极限思想 数学抽象 教学设计 一、目标展示 二、情境导入 2020年珠穆朗玛峰(简称珠峰)新测高度8 848.86米，是世界第一高峰，是很多登山爱好者的终极之地．很多人为了征服这座山峰，每年都会向它发起挑战，但到现在为止能顺利登顶的人并不多．当山势的陡峭程度不同时，登山队员的攀登的难度也是不一样的． 问题　你知道如何用数学知识来反映山势的陡峭程度吗？ 三、合作探究 知识点一　函数的平均变化率 1．平均速度 每条直线上都可以建立一根数轴，则直线上每一点P的位置均可用一个实数x表示． 若在这条直线上运动的动点P在任何时刻t的位置均可用f(t)表示，则从时刻a到时刻b的位移为f(b)－f(a).因为所花时间为b－a，所以在时间段[a，b]内动点P的平均速度为v[a，b]＝． 2．函数的平均变化率 一般地，函数y＝f(x)的自变量有可能不是时刻，因变量有可能不表示位置，因而就不一定是平均速度，但仍然反映了因变量y随自变量x变化的快慢和变化方向(增减)，因此我们把称为函数f(x)在区间[a，b]内的平均变化率． 3．函数的平均变化率的几何意义 函数y＝f(x)在闭区间[a，b]的平均变化率是函数f(x)图象上的两点A(a，f(b))，B(b，f(b))之间的线段AB的斜率kAB.即＝kAB. 1．平均变化率不能脱离区间而言． 2．函数y＝f(x)在其定义域内由x1变化到x2时函数值由f(x1)变化到f(x2)，可记d＝x2－x1称为自变量的增量，这里x1≠x2，当x1<x2时，d＝x2－x1>0，x2＝x1＋d，是f(x)在[x1，x2]上的平均变化率，当x1>x2时，d＝x2－x1<0，是f(x)在[x2，x1]上的平均变化率． 3．平均变化率反映事物发展的快慢．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”．曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．平均变化率的物理意义是物体由A点移动到B点的平均速度，几何意义是函数图象上动点由A点移动到B点时直线AB的斜率． 知识点二　函数的瞬时变化率 1．瞬时速度 若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度v(t，d)＝在d趋近于0时的极限． 1．这个极限记为 . 2．这里用“趋近于0”来表述，是因为我们研究的是平均速度趋近于某一时刻的变化过程，在这个过程中，时间间隔d虽然越来越短，但始终不能为0. 2．瞬时变化率 一般地，若函数y＝f(x)的平均变化率在d趋近于时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在x＝u处的瞬时变化率． 知识点三　导数 1．导数 (1)函数的瞬时变化率，数学上叫作函数的导数或微商． (2)定义：设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0)． 这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微． 上述定义可以简单地表述为：→f′(x0)(d→0)， 读作“d趋近于0时，趋近于f′(x0)”． 2．导函数 若y＝f(x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f′(x)(或y′)也是x的函数，我们把f′(x)(或y′)叫作y＝f(x)的导函数或一阶导数． 既然导函数f′(x)也是函数，若f′(x)在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x)．类似地，可以定义三阶导数f‴(x)等等． 四、精讲点拨 【例1】　已知函数f(x)＝x2在[1，1＋d]，[2，2＋d]，[3，3＋d]内的平均变化率分别为k1，k2，k3，若d＝，比较k1，k2，k3的大小． 【例2】　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示． (1)求物体在t＝1 s时的瞬时速度； (2)求物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 【例3】　(1)若函数f(x)在R中任一点的导数都存在，则d→0时，＝(　　) A．－2f′(1) B．f′(1) C．－f′(1) D． (2)求函数y＝x－在x＝1处的导数． 五、达标检测 1．电动自行车以其时尚、方便、快捷深受广大市民的喜爱，但由电动自行车引发的交通事故也在逐年增多．学习交通安全常识、自觉遵守交通法规是确保学生交通安全的重要举措．按规定电动自行车在城区限速20 km/h，下列说法正确的是(　　) A．电动