专题06 求最短路径与线段长度最小值问题（40道）专训-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题06 求最短路径与线段长度最小值问题（40道） 专训 【最短路径与线段长度最小值问题40道】 1．（2022秋·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点处受食，则蚂蚁所行路程的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分别分析． 【详解】解：如图将长方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线． ①如图1， ∵AB=3，BC=2，=1， ∴在中，AC=AB+BC=5，， ∴； ②如图2， ∵AB=3，BC=2，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴蚂蚁所行路程的最小值为． 故选：B． 【点睛】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用． 2．（2020春·重庆璧山·八年级重庆市璧山中学校校考期中）如图，有一个长方体纸盒，底边AB长为3cm，宽BC长为2cm，高BF为5cm．在点A处有一只蚂蚁沿纸盒的外表面爬到G处，蚂蚁走的最短路径长为（    ）cm． A． B． C． D．7.2 【答案】C 【分析】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可． 【详解】解：①如图1，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离， ∵∠ACG=90°，AC=3+2=5(cm)，CG=5cm， 在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG=(cm)； ②如图2，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离， ∵∠ABG=90°，AB=3cm，BG=5+2=7(cm)， 在Rt△ACBG中，由勾股定理得：AG=(cm)； ③如图3，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离， ∵∠AFG=90°，AF=5+3=8，FG=2， 在Rt△AFG中，由勾股定理得：AG=(cm)． ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路程是cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线． 3．（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（        ）cm． A．52 B． C．60 D．30 【答案】D 【分析】先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 的长度，然后根据勾股定理计算的长即可． 【详解】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点， 作BH⊥MN于H，BH=×48=24，MH=1， ， ∴， 在 中， =30cm． 故选D． 【点睛】此题考查平面展开-最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键． 4．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（    ）（杯壁厚度不计） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点， 连接，则即为最短距离， 在直角中，由勾股定理得 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 5．（2021春·重庆铜梁·八年级统考期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为（    ） A．25 B． C． D． 【答案】A 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：将长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴； 将长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD=CD+BC=20+5=25， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴； 将长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： ∵