6.2.3 向量的数乘运算 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算 1 情境引入 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应向量为 ，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是 吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量有怎样表示？是 吗？你能用图形表示吗？ a O A a a a =3a -a -a -a P B =-3a 3a的方向与a的方向相同， 3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|=3|a|． －3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a|=3|a| 2 新知探究 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作。 定义 长度： 方向：当时，的方向与的方向相同； 当时， 的方向与的方向相反； 当时， 规定 3 新知探究 问题1 你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 1.零乘以任何向量的结果是零向量 2.-1乘任何向量得到这个向量的相反向量 问题2 如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？ 问题3 想一想，向量数乘的几何意义是什么？ 把向量 沿着 的方向或反方向长度放大或缩小． 4 新知探究 请通过作图判断下列等式是否成立： （2） （3）2 5 新知探究 向量数乘的运算律： 设，是实数，那么有 (1)结合律： (2)分配律：① ② 特别地，我们有 向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 向量线性运算的结果仍是向量。 对于任意的向量, ,以及任意实数， 恒有 6 巩固新知 证明(1) (2)(3)的证明略. 证：当或或时，上式显然成立. 当或或时，由向量数乘运算的定义，得： ， 所以. 当同号时，上式两边向量的方向与向量的方向相同； 当异号时，上式两边向量的方向与向量的方向相反. 7 巩固新知 例1.计算： 巩固练习：P16 2题 8 M D C a b M A B D C b M D C b 巩固练习：P15 第 2、3题 巩固新知 9 巩固新知 （１）向量得数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． （２）向量也可以通过列方程来解—把所求向量当作未知数，利用解代方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 总结 10 问题4 引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系？ 探究新知 事实上，对于向量（ ≠ ）， ，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知共线． 反过来，已知向量共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即 ，那么当同方向时，有；当反方向时，有 易得，实数与向量的积与原向量共线 11 向量共线定理： 向量（）与共线的充要条件：存在唯一一个实数，使 探究新知 ①若将≠ 去掉，则当时，显然向量 共线; ②当，若，则不存在实数，使成立，此时不共线 ③当，若，则对一切的实数入，都有，与“唯一一个实数”矛盾。 向量共线定理中为什么规定 ？ 12 应用举例距离 例3.如图，已知任意两个非零向量，，试作向量, , ,猜想，，三点之间的位置关系，并证明你的猜想。 分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上．本题中，应用向量知识判断，，三点是否共线，可以通过判断向量， 是否共线，即是否存在，使成立． 13 应用举例 C 例3.如图，已知任意两个非零向量，，试作向量, , ,猜想，，三点之间的位置关系，并证明你的猜想。 14 应用举例距离 例4 .如图,已知，是两个不共线的向量，共线，求实数的值。 由，不共线，易知为非零向量。 由向量，共线可知， 存在实数，使得,即. 由，不共线，必有, 否则，不妨设 ，则 由两个向量共线的充要条件可知， ，会共线，与已知矛盾。 由，解得 因此，当向量，共线时， 15 练习巩固 　设a，b是不共线的两个向量. ∴A，B，C三点共线. 16 练习巩固 (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值. 解　∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 17 梳理总结 18 再 见 He's a