10.3 复数的三角形式及其运算（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

10.3　复数的三角形式及其运算 课程标准 学科素养 1．通过复数的几何意义，了解复数的三角形式． 2．了解复数的代数形式与三角形式之间的转换． 3．了解复数三角形式的乘除法及其几何意义． 通过学习复数的三角形式及其运算，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P31] 1．复数的三角形式：一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝，a＝r_cos_θ，b＝r_sin_θ，从而z＝a＋bi＝r(cos_θ＋isin_θ)，式子中的r(cos_θ＋isin_θ)称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．如图所示． 2．辐角主值：在[0，2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg_z． 1．思考辨析 (1)复数z的任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．(　　) (2)任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个．(　　) (3)实数0不能写成三角形式．(　　) (4)复数0的辐角主值是0.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．复数＋i化成三角形式，正确的是(　　) A．cos ＋isin　　　　 B．cos ＋isin C．cos ＋isin D．cos ＋isin B　解析：复数＋i的模r＝1，cos θ＝，sin θ＝，所以可取θ＝arg(＋i)＝.即＋i＝cos ＋isin . 1．乘法法则：设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)×r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos_(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． 2．文字语言：两个复数z1，z2相乘，z1的模乘以z2的模等于z1z2的模，z1的辐角与z2的辐角之和是z1z2的辐角． 3．复数相乘的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为1，2，将1绕原点按逆时针方向旋转角θ2，再将1的模变为原来的r2倍，如果所得向量为，则对应的复数即为z1z2，如图所示． 4．若n∈N，则[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos (nθ)＋isin(nθ)]. 1．思考辨析 (1)两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的积．(　　) (2)一个复数与i相乘，几何意义是把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转.(　　) (3)[r(cos θ＋isin θ)]2＝r2[cos2θ＋isin2θ].(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．设复数z1＝(cos ＋isin)，z2＝6(cos ＋isin)，则z1z2为(　　) A．3i B．3(cos ＋isin) C．－3i D．3(cos ＋isin) A　解析：z1z2＝×6[cos (＋)＋isin(＋)]＝3(cos ＋isin)＝3i. 1．除法法则：设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则＝＝[cos_(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 2．文字语言：两个复数z1，z2相除，z1的模除以z2的模等于的模，z1的辐角减去z2的辐角是的辐角． 3．复数相除的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为OZ1，OZ2，将OZ1绕原点按顺时针旋转θ2，再将OZ1的模变为原来的倍，如果所得向量为，则对应的复数即为. 1．思考辨析 (1)两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角除以除数的辐角．(　　) (2)一个复数除以i，几何意义是把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转.(　　) (3)若θ是非零复数z的一个辐角，则－θ一定是其共轭复数的一个辐角．(　　) 答案　 (1)×　(2)√　(3)√ 2．设复数z1＝8(cos π＋isin π)，z2＝2(cos ＋isin)，则为(　　) A．4(cos ＋isin) B．4(cos ＋isin) C．4(cos －isin) D．4(cos ＋isin) D　解析：＝＝ 4＝4(cos ＋isin). [对应学生用书P33] 把下列复数的代数形式改写成三角形式． (1)3i；　 (2)－10；　 (3)2－2i；　(4)－1＋i. 解：(1)因为复数3i在复平面内所对应的点在y轴正半轴上，所以|3i|＝3，arg(3i)＝， 所以3i＝3(cos ＋isin). (2)因为复数－10在复平面内所对应的点在x轴负半轴上，所以|－10|＝10，arg(－10)＝π. 所以