10.2.2 复数的乘法与除法（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

10．2.2　复数的乘法与除法 课程标准 学科素养 1．掌握复数代数表示式的乘除运算． 2．了解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．了解i的幂的周期性． 4．理解实系数一元二次方程在复数范围内的解集． 通过学习复数的乘法与除法，加强数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P28] 1．复数积的定义：一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 2．复数的乘法运算满足的运算律：对任意复数z1，z2，z3，有交换律：z1z2＝z2z1， 结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)， 对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3． 1．思考辨析 (1)两个复数的积仍然是复数．(　　) (2)复数的积的运算，跟多项式乘法运算一样，再利用i2＝－1即可．(　　) (3)互为共轭复数的两个复数的积是一个实数．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√ 2．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1z2＝(　　) A．4＋2i　　　 B．2＋i　　　 C．2＋2i　　　 D．3＋4i A　解析：z1z2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i－i－i2＝4＋2i. 1．∀z∈C，z＝|z|2＝||2． 2．z的n次方：n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，并记作zn，即 　　n个 3．当m，n 均为正整数时，zmzn＝zm＋n，　(zm)n＝zmn，　(z1z2)n＝zz． 4．和平方公式：(z1＋z2)2＝z＋2z1z2＋z， 平方差公式：z－z＝(z1＋z2)(z1－z2)． 1．思考辨析 (1)当z1＝z2时，有z1z1＝z2z1.(　　) (2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　　) 答案　(1)√　(2)× 2．(1＋i)4＝________． －4　解析：(1＋i)4＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝－4. 1．复数商的定义：如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，其中z1称为被除数，z2称为除数． 2．复数除法的运算性质：当ω为非零复数时，有＝，＝＋. 3．复数的倒数：一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数． 4．求两个复数的商的方法：分母实数化． 5．规定：当z为非零复数且n是正整数时，z0＝1，z－n＝. 1．思考辨析 (1)两个复数的商仍然是复数．(　　) (2)计算两个复数的商时，最终结果的分母可以为虚数．(　　) (3)复数不存在负整数次幂．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．在复平面内，复数对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　解析：因为＝＝＋i，所以对应点为(，)，在第一象限． 知识点4　实系数一元二次方程在复数范围内的解集 1．实系数一元二次方程的定义：当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程． 2．实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在复数范围内总是有解的，而且 (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根． 3．如果x1，x2为实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解，那么 1．思考辨析 (1)当Δ＝b2－4ac<0时，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在复数范围内有两个根．(　　) (2)在复数范围内，一元二次方程x2＋3x＋1＝0没有根．(　　) 答案　(1)√　(2)× 2．在复数范围内，方程4x2＋9＝0的根为________． ±i　解析：因为x2＝－＝(i)2，所以x＝±i. [对应学生用书P29] (1)已知i是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于(　　) A．2　　　　　　　　 B． C．－ D．－2 (2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________． (1)A　(2)5　解析：(1)(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数， 所以有2－a＝0，1＋2a≠0，解得a＝2. (2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5. 1．两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i2换成－1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常