10.2.1 复数的加法与减法（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

10．2　复数的运算 10．2.1　复数的加法与减法 课程标准 学科素养 1．掌握复数代数表示式的加法和减法运算． 2．了解复数加法、减法运算的几何意义． 通过学习复数的加法与减法，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P24] 1．复数和的定义：一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i． 2．复数的加法运算满足的运算律：对任意复数z1，z2，z3，有 交换律：z1＋z2＝z2＋z1， 结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 1．思考辨析 (1)两个复数的和仍然是复数．(　　) (2)两个共轭复数的和一定是实数．(　　) 答案　(1)√　(2)√ 2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　) A．8i　　　　 B．6　　　　 C．6＋8i　　 D．6－8i B　解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6. 1．复数加法的几何意义：如果复数z1，z2所对应的向量分别为1与2，则当1与2不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1＋z2所对应的向量就是，如图所示． 2．复数和的模的三角不等式：||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|. 1．思考辨析 (1)若复数z1，z2，z1＋z2所对应的向量分别为1，2，，则＝1＋2．(　　) (2)如果复数z1，z2所对应的向量1与2共线时，那么|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|.(　　) 答案　(1)√　(2)× 2．向量1对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，则1＋2对应的复数是(　　) A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i C　解析：因为向量1对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，所以1＝(5，－4)，2＝(－5，4)，所以1＋2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)， 所以1＋2对应的复数是0. 1．复数的相反数：一般地，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的相反数记作－z，并规定－z＝－(a＋bi)＝－a－bi． 2．复数差的定义：复数z1减去z2的差记作z1－z2，并规定z1－z2＝z1＋(－z2)． 3．复数减法的代数表示：一般地，如果z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i． 1．思考辨析 (1)两个复数的差仍然是复数．(　　) (2)两个共轭复数的差一定是纯虚数．(　　) (3)复数的加法与减法不能进行混合运算．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1－z2等于(　　) A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i A　解析：z1－z2＝(3＋4i)－(3－4i)＝(3－3)＋[4－(－4)]i＝8i. 1．复数减法的几何意义：如果复数z1，z2所对应的向量分别为1与2，设点Z满足＝，则z1－z2所对应的向量就是，如图所示． 2．复数差的模的三角不等式：||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|． 1．思考辨析 (1)若复数z1，z2所对应的向量分别为1，2，则z1－z2对应的向量＝1－2．(　　) (2)若复数z1，z2所对应的向量1与2共线时，那么|z1－z2|＝|z1|－|z2|.(　　) 答案　(1)√　(2)× 2．设O是原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数是________． 5＋5i　解析：＝－＝(2＋3i)－(－3－2i)＝5＋5i. [对应学生用书P25] (1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 解：(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i. (2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， 所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i， 所以所以 所以z1＝2＋2i，z2＝3－8i.所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i. 复数代数形式的加、减法运算技巧 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部． (2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减． (3)复数的运算可以类比多项式的