10.1.2 复数的几何意义（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

10．1.2　复数的几何意义 课程标准 学科素养 1．理解复数的几何意义． 2．掌握实轴、虚轴、模等概念，以及用向量的模来表示复数的模的方法． 3．理解共轭复数的含义及性质． 通过学习复数的几何意义，达成数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养． [对应学生用书P20] 1．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面． 2．实轴、虚轴的含义：在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴． 3．复数的几何意义：复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)↔点Z(a，b)． 1．思考辨析 (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(　　) (2)在复平面内，虚轴上的点对应的复数都是纯虚数．(　　) 答案　(1)√　(2)× 2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为(　　) A．(1，i)　　 B．(1，－i)　　 C．(1，1)　　 D．(1，－1) D　解析：复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1). 1．共轭复数的概念：一般地，如果两个复数的实数相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数． 2．共轭复数的代数表示：复数z的共轭复数用表示，因此，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，有＝a－bi． 3．互为共轭复数的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数． 1．思考辨析 (1)实数没有共轭复数．(　　) (2)纯虚数的共轭复数还是纯虚数．(　　) (3)复数z与它的共轭复数表示的点关于虚轴对称．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　解析：∵＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴z在复平面内对应的点位于第四象限． 1．复数的另一种几何意义：复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)↔向量＝(a，b)． 2．复数的模：一般地，向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此，|z|＝ ． 当b＝0时，|z|＝＝|a|，这说明复数的模是实数绝对值概念的推广． 3．一般地，两个共轭复数的模相等，即|z|＝||． 1．若＝(0，－3)，则对应的复数为(　　) A．0 B．－3 C．－3i D．3 C　解析：由＝(0，－3)，得点Z的坐标为(0，－3)，所以对应的复数为0－3i＝－3i. 2．复数z＝1＋i，则|z|＝________． 2　解析：|z|＝ ＝2. [对应学生用书P21] 当k为何实数时，复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点位于：(1)x轴正半轴上；(2)y轴负半轴上；(3)第四象限的角平分线上． [分析]　根据复数z的实部、虚部分别是复平面内与z对应的点的横、纵坐标，由对应点所在的位置列出方程或方程组求解． 解：　∵k为实数，∴k2－3k－4，k2－5k－6都是实数， ∴复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6). (1)复数z对应的点位于x轴正半轴上， 则解得∴k＝6. (2)复数z对应的点位于y轴负半轴上， 则解得∴k＝4. (3)复数z对应的点位于第四象限的角平分线上， 则解得 ∴k＝5. 利用复数与点的对应解题的步骤 (1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系． [训练1]　求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件？ (1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x轴上方． 解：(1)点Z在复平面的第二象限内， 则解得a＜－3. (2)点Z在x轴上方，则 即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3. 若复数z＝4＋3i与其共轭复数所对应的向量分别为，，求△OAB的周长． 解：因为复数z＝4＋3i与其共轭复数所对应的向量分别为，，所以＝(4，3)，＝(4，－3)，如图，AB⊥x轴， 则||＝||＝＝5，|AB|＝6，所以△OAB的周长为5＋5＋6＝16. [变式]　将本例条件不变，求△OAB的面积． 解：由例2知，AB⊥x轴，则△OAB的面积 S＝AB·OD＝×6×4＝12. 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时