10.1.1 复数的概念（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

10．1　复数及其几何意义 10．1.1　复数的概念 课程标准 学科素养 1．通过方程的解，认识复数． 2．理解复数的代数表示及相关概念． 3．理解两个复数相等的含义． 通过学习复数的概念及分类，达成数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养． [对应学生用书P17] 1．虚数单位：一般地，为了使得方程x2＝－1有解，人们规定i的平方等于－1，即i2＝－1，并称i为虚数单位． 2．复数的定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数． 3．复数的表示：复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b． 1．思考辨析 (1)－1没有平方根．(　　) (2)复数3－2i的虚部为－2i.(　　) 答案　(1)×　(2)× 2．(1＋)i的实部与虚部分别是(　　) A．1，　　　　　　　 B．1＋，0 C．0，1＋ D．0，(1＋)i 答案　C 1．复数集：所有复数组成的集合称为复数集，通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}． 2．复数的分类： 复数(a＋bi) 1．思考辨析 (1)若x是实数，则x不是复数．(　　) (2)若z是虚数，则z不是实数．(　　) (3)一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零.(　　) (4)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．(　　) (5)0既是实数，也是虚数．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 2．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．±1 D．不存在 C　解析：(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，所以a＝±1. 1．复数相等的概念：两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2． 2．复数相等的充要条件：如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d．特别地，当a，b都是实数时，a＋bi＝0的充要条件是a＝0且b＝0． 1．思考辨析 (1)因为实数可以比较大小，所以复数也可以比较大小．(　　) (2)两个虚数不能比较大小．(　　) (3)虚数也可以分为正虚数和负虚数．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．若x，y为实数且满足(2x－y)i＋(x－y)＝3＋2i，则x＝______，y＝______． －1　－4　解析：由题意知解得 [对应学生用书P18] 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． ①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0. 解：①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数． 判断复数a＋bi的实部、虚部的关键 (1)看形式：看复数的表示是否是a＋bi的形式． (2)看属性：看a，b是否都是实数． (3)看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点． [训练1]　请指出复数－i，－－i，的实部和虚部，其中有没有纯虚数？ 解：－i的实部是0，虚部是－.－－i的实部是－，虚部是－.的实部是，虚部是0.其中－i是纯虚数． 当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：①实数？②虚数？③纯虚数？ 解：①当即m＝2时，复数z是实数． ②当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数． ③当即m＝－3时，复数z是纯虚数． [变式]　本例条件不变，求实数m为何值时，复数z为实数0? 解：当即m＝2时，复数z为实数0. 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. [训练2]　已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时． (1)z∈R； (2)z是虚数； (3)z是纯虚数． 解：(1)m满足解得m＝－3. (2)m满足m2＋2m－3≠0且m－1≠0， 解得m≠1且m≠－3. (3)m满足解得m＝0或m＝－2. (1)下列命题： ①若a＋bi＝0，则a＝b＝0； ②x＋yi＝2＋2i⇔x＝y＝2； ③若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1. 其中正确命题的个数为(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2