11.4.2 平面与平面垂直（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

11．4.2　平面与平面垂直 课程标准 学科素养 1．理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小． 2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，学会用定理证明垂直关系． 3．掌握平面与平面垂直的性质，并能运用性质定理解决一些简单问题． 通过学习平面与平面垂直，达成直观想象、数学抽象和逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P85] 　(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面． (2)图形表示： (3)记法：以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角α­AB­β．如果C和D分别是半平面α和β内的点，也可记作C­AB­D． (4)二面角的平面角：在二面角α­AB­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．如图， O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l，二面角α­l­β的平面角是∠AOB． (5)二面角的平面角的取值范围：0°≤θ≤180°．平面角是直角的二面角称为直二面角． (6)平面与平面所成的角：一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于90°的角的大小．范围为0°＜θ≤90°. 1．思考辨析 (1) 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．(　　) (2)若OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就是二面角α­l­β的平面角.(　　) 答案　(1) √　(2)× 2．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角D1­BC­D的平面角的大小为(　　) A．30°　　　　　　　　 B．45° C．60° D．90° B　解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，所以BC⊥D1C，BC⊥CD， ∴∠D1CD是二面角D1­BC­D的平面角．在△D1CD中，D1D⊥CD，D1D＝CD，∴∠D1CD＝45°，即二面角D1­BC­D的平面角的大小是45°. 1．定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β. 2．画法 3．判定定理 (1)文字叙述：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (2)图形表示： (3)符号表示：如果l⊂α，l⊥β，则α⊥β. (4)作用：证明平面与平面垂直． 1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________． 1个或无数个　解析：设平面外一点为A，平面内一点为B，过点A作平面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β. 2．在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图，则在三棱锥P­ABC的四个面中，互相垂直的面有________对． 3　解析：平面PAB⊥平面PAC，平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC. 　(1)文字叙述：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． (2)图形表示： (3)符号表示：如果α⊥β，α∩β＝m，AO⊂α，AO⊥m， 则AO⊥β． (4)作用：证明直线与平面垂直． 1．思考辨析 (1)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α⊥平面β.(　　) (2) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内任意一条直线都垂直于平面β.(　　) (3) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β.(　　) (4) 如果平面α⊥平面β，那么过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3) √　(4)√ 2．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，要使n⊥β，则应增加的条件是(　　) A．n⊂α且m∥n B．n∥α C．n⊂α且n⊥m D．n⊥α 答案　C [对应学生用书P87] 如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD. (1)求二面角B­PA­D平面角的度数； (2)求二面角B­PA­C平面角的度数． 解：(1)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA. ∴∠BAD为二面角B­PA­D的平面角． 又由题意∠BAD＝90°， ∴二面角B­PA­D平面角的度数为90°. (2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角． 又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°. 即二面角B­PA­C平面角的度数为45°. [变式]　若PA＝AB，求二面角P­CD­A平面角的度数． 解：∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，又CD⊥AD， ∴CD⊥平