11.4.1 直线与平面垂直（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

11．4　空间中的垂直关系 11．4.1　直线与平面垂直 课程标准 学科素养 1．会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题． 3．理解直线与平面垂直的性质及其性质定理，并能解决有关垂直与平行的相互转化问题． 4．了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法． 通过学习直线与平面垂直，达成直观想象、数学抽象和逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P78] (1)定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小. (2)异面直线所成角θ的取值范围：0°<θ≤90°． (3)规定：空间中两条平行直线所成角的大小为0°. 空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m互相垂直，记作l⊥m. 若a∥b且b⊥c，则一定有a⊥c. (4)空间两条直线所成角θ的取值范围：0°≤θ≤90°． 1．思考辨析 (1)没有公共点的两条直线一定是异面直线．(　　) (2)两直线垂直，则这两条直线一定相交．(　　) (3)两直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________． 65°　解析：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°. 1．直线与平面垂直的定义 (1)文字叙述：如果直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)符号表示：l⊥a⇔∀m⊂α，l⊥m． (3)图形表示： 2．判定定理 (1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． (2)图形语言： (3)符号语言：如果m⊂α，n⊂α，m∩n≠∅，l⊥m，l⊥n，则l⊥α. (4)作用：证明直线与平面垂直． 1．思考辨析 (1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．(　　) (2)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直．(　　) (3)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线．(　　) (4)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　) A．平面OAB　　　　　　 B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC C　解析：由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC. 1．性质结论 (1)文字叙述：如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (2)图形语言： (3)符号表示：如果l∥m，l⊥α，则m⊥α． 2．性质定理 (1)文字叙述：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． (2)图形语言： (3)符号表示：如果l⊥α，m⊥α，则l∥m． 1．思考辨析 (1)垂直于同一条直线的两直线平行．(　　) (2)垂直于同一条直线的两直线垂直．(　　) (3)垂直于同一个平面的两直线平行．(　　) (4)垂直于同一条直线的一条直线和平面平行．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1B1C1D1(l与棱不重合)，则(　　) A．B1B⊥l B．B1B∥l C．B1B与l异面 D．B1B与l相交 B　解析：因为B1B⊥平面A1B1C1D1，又l⊥平面A1B1C1D1，则l∥B1B. 1．直线与平面垂直的有关概念 (1)垂线段、斜线段：如果A是平面α外一点，B是平面α内一点，则AB⊥α时，AB是平面α的垂线段．如果C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面α的斜线段(相应地，直线AC称为平面α的斜线)，称C为斜足．如图所示． (2)直线与平面所成的角：如图，AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，直线BC称为直线AC在平面α内的射影，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角．如图所示． 2．结论 (1)平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线；平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影． (2)图形语言： (3)已知AB⊥α，AC是平面α的一条斜线，l⊂α，①若l⊥BC，则l⊥AC；②若l⊥AC，则l⊥BC. 1．如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的(　　) A．∠PAD　　 B．∠PDA　　 C．∠PDB