11.3.3 平面与平面平行（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

1．3.3　平面与平面平行 课程标准 学科素养 1．理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中“相交”两字的重要性． 2．理解并能证明平面与平面平行的性质定理． 3．能利用平面与平面平行的判定定理和性质定理解决有关的平行问题． 通过学习平面与平面平行，达成直观想象、数学抽象和逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P73] 1．判定定理 (1)文字叙述：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (2)符号表示：如果l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l∥β，m∥β_，则α∥β. (3)图形表示： 2．推论 (1)文字叙述：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行． (2)符号表示：如果l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l′⊂β，m′⊂β，l′∩m′≠∅，l∥l′，m∥m′，则α∥β. (3)图形表示： 3．作用：证明平面与平面平行． 1．三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与α平行吗？ 提示　平行．三角板的两条边相交，符合判定定理． 2．如果平面α内有无数条直线与平面β平行，这两个平面平行吗？ 提示　不一定平行，若无数条直线都平行，那么这两个平面不一定平行；若无数条直线中存在两条相交直线，那么这两个平面就平行． 1．文字叙述：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 2．符号表示：如果α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则l∥m. 3．图形表示： 4．作用：证明两直线平行． 5．结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 1．如果α∥β，那么平面α内的所有直线都平行于平面β吗？ 提示　是的． 2．如果α∥β，m⊂α，n⊂β，那么m与n平行吗？ 提示　不一定． [对应学生用书P74] 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD. [分析]　由于M、N、P都为中点，故添加B1C、B1D1作为联系的桥梁． 证明：如图所示，连接B1D1、B1C. ∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点， ∴PN∥B1D1. 又B1D1∥BD，∴PN∥BD. 又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD， ∴PN∥平面A1BD. 同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，PN⊂平面MNP，MN⊂平面MNP， ∴平面PMN∥平面A1BD. 判定平面与平面平行的四种常用方法 (1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法． (2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线． (3)利用推论：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. [训练1]　已知P是▱ABCD所在平面外一点．E，F，G分别是PB，AB，BC的中点． 求证：平面PAC∥平面EFG. 证明：因为EF是△PAB的中位线，所以EF∥PA. 又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC， 所以EF∥平面PAC. 同理得EG∥平面PAC. 又EF⊂平面EFG， EG⊂平面EFG，EF∩EG＝E， 所以平面PAC∥平面EFG. 如图，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF， 平面PCM∩平面ABC＝CM， 所以NF∥CM. [变式]　如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________． 平行四边形　解析：∵平面ABFE∥平面CDHG，平面EFGH与两平面分别交于EF，GH.由面面平行的性质定理得EF∥GH，同理可得EH∥FG， ∴四边形EFGH为平行四边形． 面面平行性质定理的关键 (1)成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面均相交． (2)定理的实质：面面平行⇒线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由定理可知，两条交线平行，体现了转化思想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化． [训练2]　如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3