11.3.1 平行直线与异面直线（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

11．3　空间中的平行关系 11．3.1　平行直线与异面直线 课程标准 学科素养 1．理解并掌握平行线的传递性和等角定理，并能解决有关问题． 2．了解异面直线的画法和判断，并会判断异面直线． 3．了解空间四边形的定义及有关概念． 通过学习平行直线与异面直线，达成直观想象、数学抽象和逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P66] 1．定义：在同一平面内不相交的两条直线称为平行直线． 2．空间平行线的传递性 (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (2)符号表述：⇒b∥c. (3)图形表述： 3．等角定理 (1)文字表述：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等． (2)符号表述： (3)图形表述： 1．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(　　) A．30°　　　　　　　　　 B．150° C．30°或150° D．大小无法确定 C　解析：当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，∠B′A′C′＝30°；当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相反时，∠B′A′C′＝150°. 2．直线a，b，c，d满足a∥b，b∥c，c∥d，则a与d的位置关系是________． 平行　解析：∵a∥b，b∥c，c∥d， ∴由平行线的传递性可知a∥d. 　(1)定义：两条直线异面，实际上也就是这两条直线不能同时在任何一个平面内． (2)异面直线的画法：为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示． (3)判定方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面． 1．没有公共点的两条直线一定是异面直线？ 提示　没有公共点的两条直线也可能是平行直线． 2．直线a在平面α内，直线b在平面β内，则直线a，b是异面直线吗？ 提示　不一定．异面直线是不同在任何一个平面内的直线． 1．定义：顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线． 2．表示：用表示顶点的4个字母表示，如图所示为空间四边形ABCD，这个空间四边形的边为AB，BC，CD，DA，对角线为AC，BD． 1．平行四边形、梯形等平面四边形是空间四边形？ 提示　空间四边形的4个点不共面，平面四边形不是空间四边形． 2．空间四边形是四面体吗？ 提示　不是．空间四边形可以看成由四面体的4条棱构成的图形． [对应学生用书P67] 已知棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点． 求证：(1)四边形MNA1C1是梯形； (2)∠DNM＝∠D1A1C1. [分析]　(1)通过平行线的传递性进行转化；(2)用等角定理证明． 证明：(1)如图，连接AC，在△ACD中， ∵M、N分别是CD、AD的中点， ∴MN是三角形的中位线， ∴MN∥AC，MN＝AC. 由正方体的性质得AC∥A1C1， AC＝A1C1. ∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1， 即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形． (2)由(1)可知MN∥A1C1，且NM与A1C1方向相同， 又∵ND∥A1D1，且ND与A1D1方向相同， ∴∠DNM＝∠D1A1C1. 1．求证两直线平行，目前有两种途径 一是应用平行线的传递性，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点． 2．求证角相等 一是用等角定理；二是用三角形全等或相似． [训练1]　已知E，E1分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1. 证明：如图，连接EE1. ∵E1，E分别为A1D1，AD的中点，∴A1E1綉AE. ∴A1E1EA为平行四边形．∴A1A綉E1E. 又∵A1A綉B1B，∴E1E綉B1B. ∴四边形E1EBB1是平行四边形． ∴E1B1∥EB，同理E1C1∥EC. 又∠BEC与∠B1E1C1方向相同，∴∠BEC＝∠B1E1C1. 已知空间四边形ABCD，AB≠AC，AE是△ABC中BC边上的高，DF是△BCD中BC边上的中线，求证：AE和DF是异面直线． [分析]　欲证AE与DF为异面直线，可以用反证法，也可以用异面直线判定定理证明． 证明：证法一(反证法)：假设AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面，设过AE、DF的平面为β，若E、F重合，则E为BC的中点，∴AB＝AC，与AB≠AC相矛盾．若E、F不重合，∵B∈EF，C∈EF，而EF⊂β， ∴B∈β，C∈β，又A∈β，D∈β， ∴A、B、C、D四点共面，这与题设AB