11.2 平面的基本事实与推论（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

11．2　平面的基本事实与推论 课程标准 学科素养 1．了解平面的基本事实和推论． 2．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论，理解三个基本事实和三个推论的地位与作用． 通过学习平面的基本事实与推论，达成直观想象、数学抽象和逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P61] 基本事实 文字表示 图形表示 符号表示 作用 基本事实1 经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据；②判定点、线共面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈α，B∈α⇒AB⊂α ①判定直线是否在平面内； ②判断一个面是否是平面 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两个平面相交的依据； ②判定点在直线上 1．下列说法正确的是(　　) A．三点可以确定一个平面 B．若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内 C．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一点 D．如果两个平面有三个不共线的点，那么这两个平面重合 D　解析：A错误，不共线的三点可以确定一个平面；B错误，直线上的两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；C错误，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一条直线；D正确，过不共线的三个点有且只有一个平面． 2．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则(　　) A．C∈α　　　　　　　 B．C∉α C．AB⊄α D．AB∩α＝C A　解析：因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB⊂α.又因为C∈直线AB，所以C∈α. 推论 文字表示 图形表示 符号表示 作用 推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面 A∉l⇒存在唯一的平面α，使A∈α，且l⊂α 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 l∩m＝A⇒存在唯一的平面α，使l⊂α，且m⊂α 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 l∥m⇒存在唯一的平面α，使l⊂α，且m⊂α 1．下列说法不正确的是(　　) A．三角形是平面图形 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．平行四边形是平面图形 D．初中学习的梯形的判断与性质等结论，在空间中仍然成立 B　解析：A正确，利用推论2可以说明三角形是平面图形；B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面；C正确，利用推论3可以说明平行四边形是平面图形；D正确，因为梯形是平面图形． 2．经过空间任意三点作平面(　　) A．只有一个 B．可作二个 C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个 D　解析：当三点在一条直线上时，过这三点的平面能作无数个；当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个． [对应学生用书P62] 用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC； (2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC. [分析]　根据条件，适当确定其中的某一个平面，然后根据点、线、面的位置关系，将其附着于固定平面上，注意图形的立体感，要将被遮挡部分用虚线表示． 解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.用图形表示如图①. (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD， 平面ABC∩平面ADC＝AC. 图形表示如图②. 1．解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”、“∉”、“⊂”、“⊄”、“∩”的意义． 2．三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． [训练1]　A、B、C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是(　　) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α⇒α∩β ＝直线AB C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合 D．l⊄α，A∈l⇒A∉α D　解析：A是基本事实2，故A正确；B是基本事实3，故B正确；C是基本事实1，故C正确；当l⊄α，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故D不正确． 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面． [分析