11.1.3 多面体与棱柱（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

11．1.3　多面体与棱柱 课程标准 学科素养 1．了解空间几何体的有关概念． 2．认识棱柱的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单有关棱柱物体的结构． 3．知道多面体的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 通过学习多面体与棱柱，达成直观想象、数学抽象及数学运算的核心素养． [对应学生用书P44] 1．多面体的定义：一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体．围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点． 2．多面体的面对角线、体对角线：一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线． 3．截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面． 4．多面体的表面积：多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积). 5．正多面体：各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体．正多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间满足关系V＋F－E＝2． 1．多面体至少有几个面？对应的多面体是什么？ 提示　至少4个面，对应的多面体是三棱锥． 2．正六面体就是以前我们学过的什么几何体？若棱长为2，则表面积为多少？ 提示　正方体，表面积为2×2×6＝24. 1．棱柱的定义：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱．棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱． 2．棱柱的高：过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高． 3．直棱柱、正棱柱：如果棱柱的侧棱垂直于底面，则可知棱柱所有的侧面都是长方形，这样的棱柱称为直棱柱(不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱).特别地，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱． 4．棱柱的分类及表示：按底面的形状分类，分为三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)，五棱柱(底面是五边形)，…….棱柱可以用底面上的顶点来表示，例如底面是四边形的棱柱可表示为四棱柱ABCD—A′B′C′D′．还可表示为四棱柱AC′. 5．平行六面体：底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体． 1．棱柱的侧面都是(　　) A．三角形　　 B．四边形　　 C．五边形　　 D．矩形 B　解析：由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形． 2．棱柱至少有________个面． 5　解析：面数最少的棱柱是三棱柱，有两个底面，三个侧面，共五个面． [对应学生用书P45] 如图所示的多面体中，底面ABCDE为正五边形，回答下列问题： (1)写出多面体的体对角线； (2)指出多面体的顶点数V、棱数E、面数F，以及它们满足的关系式； (3)写出与棱AB异面的棱； (4)写出AB与平面BCC1B1的位置关系，并用符号表示． 解：(1)体对角线有AC1，AD1，BD1，BE1，CE1，CA1，DA1，DB1，EB1，EC1； (2)顶点数V＝10，棱数E＝15，面数F＝7，满足V＋F－E＝2； (3)与棱AB异面的棱有CC1，DD1，EE1，B1C1，C1D1，A1E1； (4)AB与平面BCC1B1的相交于点B，即AB∩面BCC1B1＝B. (1)把握多面体的有关概念是解这类问题的关键． (2)观察图形，根据图形回答直线、平面之间的位置关系，要注意直观图与实物图的区别，特别是平行问题，要根据条件进行判断． [训练1]　如图所示的多面体，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DP＝BE＝1，△APE，△PEC都为等边三角形． (1)写出直线AB与平面PAD，平面EBC与平面ABE的位置关系，并用符号表示； (2)求这个多面体的表面积． 解：(1)直线AB与平面PAD相交于点A，即AB∩平面PAD＝A；平面EBC与平面ABE相交于BE，即平面EBC∩平面ABE＝BE. (2)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC. 因为四边形ABCD是边长为1的正方形，且DP＝1， 所以S四边形ABCD＝1，S△PAD＝S△PDC＝， 因为△APE，△PEC都为等边三角形，且PA＝PC＝，所以S△APE＝S△PEC＝××＝. 因为在△ABE，△BCE中，且AB＝BC＝BE＝1， AE＝EC＝，所以BE⊥AB，BE⊥BC， 所以S△ABE＝S△BCE＝， 所以表面积为1＋×4＋×2＝3＋. 如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (