7.3.1 正弦函数的性质与图象（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

7．3　三角函数的性质与图象 7．3.1　正弦函数的性质与图象 课程标准 学科素养 1．掌握y＝sin x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值． 2．会用正弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题． 3．会利用五点作图法画出正弦函数的图象． 通过对正弦函数的性质与图象的学习，强化数学抽象、直观想象、数学运算的核心素养． 1．正弦函数：对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数． 2．定义域与值域：正弦函数y＝sin x的定义域是R，值域是，当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数值的最大值是1，当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数值的最小值是－1. 3．正弦函数y＝sin x是奇函数，其图象关于原点中心对称． 1．函数y＝sin x－1的最小值是(　　) A．0　　　　　 B．1　　　　　 C．－2　　　　　 D．－1 C　解析：sin x∈[－1，1]，所以y＝sin x－1的最小值为－2. 2．函数y＝sin (x＋π)的图象关于(　　) A．x轴对称 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线x＝对称 B　解析：因为y＝sin (x＋π)＝－sin x为奇函数，所以其图象关于原点对称． 1．周期函数定义： 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期． 对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期． 2．正弦函数的周期：正弦函数y＝sin x是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 1．函数y＝2sin x－1的最小正周期是________． 2π　解析：y＝sin x的最小正周期是2π，所以y＝2sin x－1的最小正周期是2π. 2．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________． －2　解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期是4，所以f(7)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2. 1．正弦函数y＝sin x在区间(k∈Z)上递增，在(k∈Z)上递减． 2．正弦函数y＝sin x的零点是 kπ(k∈Z)． 1．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是(　　) A．[0，π] B． C． D．[π，2π] C　解析：由正弦曲线知y＝sin x在上是增函数． 2．函数y＝2sin x的零点是________． kπ，k∈Z　解析：令y＝0，得x＝kπ，k∈Z，所以函数的零点是kπ，k∈Z. 1．一般地，函数y＝sin x的图象称为正弦曲线，利用五点法作正弦曲线，这五个点是： (0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象． 2．正弦函数y＝sin x的图象对称轴为x＝＋kπ，对称中心为(kπ，0)，其中k∈Z. 1．用五点法画y＝sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　) A． B． C．(π，0) D．(2π，0) A　解析：易知不是关键点． 2．函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是(　　) A.1 B．2 C.3 D．4 A　解析：当x＝时，y＝1，所以函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是1个． (1)已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于(　　) A．0　　　　　 B．1　　　　　 C．－1　　　　　 D．±1 (2)函数y＝sin x的最小正周期是________． (3)比较sin (－320°)与sin 700°的大小． (1)A　解析：函数定义域为R，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝sin (－x)－|a|＝－f(x)＝－sin x＋|a|，所以|a|＝0，从而a＝0. (2)4　解析：令z＝x，且y＝sin z的最小正周期为2π. ∴sin ＝sin ∴由周期函数定义，T＝4是y＝sin x的最小正周期． (3)解：∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin 40°， sin 700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)， 又函数y＝sin x在上是增函数， ∴sin 40°>sin(－20°)，∴sin(－320°)>sin 700°. 1．正弦函数周期性，实质上是由终边相同角所具有的