7.2.4 诱导公式（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

7．2.4　诱导公式 课程标准 学科素养 掌握诱导公式并运用其进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 通过对诱导公式的学习，强化逻辑推理、数学运算的核心素养． 知识点1　角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系 终边相同的角，同名三角函数值相等(“同名”指同是正弦、余弦或正切，下同).不难看出，α与α＋k·2π(k∈Z)的终边相同，所以当k为整数时，有 sin (α＋k·2π)＝sin α， cos (α＋k·2π)＝cos α， tan (α＋k·2π)＝tan α. 1．sin 390°＝________． 　解析：sin 390°＝sin(360°＋30°)＝sin 30°＝. 2．cos ＝________． 　解析：cos ＝cos ＝cos ＝. 知识点2　角α与－α的三角函数值之间的关系 1．α和－α的终边关于角＝0的终边所在的直线(即x轴)对称． 2．用正角的三角函数值表示负角的三角函数值，公式为： sin (－α)＝－sin α， cos (－α)＝cos α， tan (－α)＝－tan α. 1．tan ＝________． －　解析：tan ＝－tan ＝－. 2．cos ＝________． 　解析：cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝. 知识点3　角α与π±α的三角函数值之间的关系 1．α和π－α的终边关于角＝的终边所在的直线(即y轴)对称． 2．角α与π±α的三角函数值之间的关系为： sin (π－α)＝sin α， cos (π－α)＝－cos α， tan (π－α)＝－tan α. sin (π＋α)＝－sin α， cos (π＋α)＝－cos α， tan (π＋α)＝tan α. 1．sin ＝________． 　解析：sin ＝sin ＝sin ＝. 2．tan ＝________． －1　解析：tan ＝－tan ＝－tan ＝ －tan ＝－tan ＝－tan ＝－1. 知识点4　角α与－α的三角函数值之间的关系 1．α和－α的终边关于角＝的终边所在的直线(即直线y＝x)对称． 2．角α与－α的三角函数值之间的关系 sin ＝cos α， cos ＝sin α. 3．推广公式 sin ＝cos α， cos ＝－sin α. cos ＝sin α， sin ＝－cos α. cos ＝－sin α， sin ＝－cos α. 1．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…sin289°＝________． 　解析：∵sin289°＝cos21°，sin21°＋cos21°＝1， …sin246°＝cos244°，sin244°＋cos244°＝1， ∴原式＝1×44＋sin245°＝44＋＝. 2．已知sinα＝，则cos ＝________． －　解析：cos ＝cos ＝cos ＝－sin α＝－. 角度1　给角求值 求下列各三角函数值． (1)sin ；(2)cos ； (3)tan (－855°)；(4)sin . 解：(1)sin ＝－sin ＝－sin ＝－sin ＝－sin ＝－sin ＝－. (2)cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－. (3)tan (－855°)＝－tan 855°＝－tan (2×360°＋135°) ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°) ＝tan 45°＝1. (4)sin ＝sin ＝sin ＝. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：将负角化为正角； (2)“大化小”：将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值 [训练1]　求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值． 解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135° ＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210°)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°) ＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45° ＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°sin(180°＋30°)－tan 45° ＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45° ＝×－×－1 ＝. 角度2　给值(式)求值 (1)(多选)已知cos (π－α)＝－ ，则sin (－2π－α)的值是(　　) A.　　　　　　　　 B．－ C.－ D． AB　解析：∵cos (π－α)＝－cos α＝－， ∴cos