7.2.3 同角三角函数的基本关系式（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 课程标准 学科素养 1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用． 2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明． 通过对同角三角函数基本关系式的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的点，记r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝，由此可得sin2α＋cos2α＝1，tanα＝. 1．已知sin α＝，α∈，则tan α的值是(　　) A.－　　　　　　 B．－ C. D． B　解析：因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－，tan α＝－. 2．下列四个命题中可能成立的一个是(　　) A.sin α＝且cos α＝ B.sin α＝0且cos α＝－1 C.tan α＝1且cos α＝－1 D.tan α＝(α为第二象限角) B　解析：选项A不符合sin2α＋cos2α＝1，B符合sin2α＋cos2α＝1，又由tanα＝知D不正确，C也不可能正确． (1)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值； (2)已知sin α＋cos α＝，a∈(0，π)，求tan α的值． 解：(1)当α是第二象限角时， sin α＝ ＝＝， tan α＝＝＝－. 当α是第三象限角时， sin α＝－＝－，tanα＝. 综上所述：当α是第二象限角时， sin α＝，tan α＝－. 当α是第三象限角时，sin α＝－tan α＝. (2)因为sin α＋cos α＝，① 所以sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝. 即2sin αcos α＝－. 因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0. 所以sin α－cos α＝ ＝＝.② 由①②解得sin α＝，cos α＝－.所以tan α＝－. 1．已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系． (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果． 2．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. [训练1]　已知tan α＝，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值． 解：因为tan α＝，所以＝，即 sin α＝cos α.因为sin2α＋cos2α＝1， 所以＋cos2α＝1，则cos2α＝， 又因为α是第三象限的角，所以cosα＝－， 则sin α＝－.所以sin α＝－，cos α＝－. (1)化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝________． (2)若0<θ<，化简·. (1)1　解析：原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β ＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β ＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β＝1. (2)解：原式＝· ＝·＝·. 又0<θ<，∴sinθ>0，0<cos θ<1， 故原式＝·＝＝1. 三角函数式化简的常用方法 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1以降低函数次数，达到化简的目的 [训练2]　若角α是第二象限角，化简：tan α . 解：原式＝tanα＝tanα ＝·， 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0， 所以原式＝·＝·＝－1. 探究三　利用同角三角函数的基本关系证明恒等式 求证：－＝. 证明：左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝右边． 所以原等式成立． 1．简单的三角恒等式的证明思路 (1)从一边开始，证明它等于另一边． (2)证明左、右两边等于同一个式子． (3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简． 2．证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则 (1)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等． (2)原则：由繁到简，变异为同 [训练3]　求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. 证明：左边＝2(1－sin α)(1＋cos α) ＝2(1＋cos α－sin α－sin αcos α)， 右边＝(1－sin α＋cos α)2 ＝(1－sin α)2＋2(1－sin α)cos α＋cos2α ＝1－2s