7.2.2 单位圆与三角函数线（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

7．2.2　单位圆与三角函数线 课程标准 学科素养 会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切． 通过对单位圆与三角函数线的学习，加强直观想象、数学运算的核心素养． 1．一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆． 2．过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，当的方向与x轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos_α＝||，当的方向与x轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos_α＝－||，称为角α的余弦线，类似地，可以直观的表示sin α，称为角α的正弦线． 1．若a＝sin 2，b＝cos 2，则a，b的大小关系为(　　) A．a<b　　　　　　 B．b<a C．a＝b D．不能确定 B　解析：因为<2<π，作出2的正弦线，余弦线． 显然sin 2>cos 2. 2．若角α的余弦线长度为，且方向与x轴负方向相同，则cos α＝________． －　解析：因为α的余弦线方向与x轴负方向相同，所以cos α<0，所以cos α＝－. 设角α的终边与直线x＝1交于点T，则可以直观地表示tan α，因此称为角α的正切线． 当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x＝1没有交点，但终边的反向延长线与x＝1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值． 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线． 1．下列角的正切线不存在的是(　　) A．－ B． C．　　　　 D． B　解析：因为的终边落在y轴的非负半轴上，故正切线不存在． 2．比较大小：tan 1________tan (填“>”或“<”). <　解析：因为1<，由它们的正切线知tan 1<tan . 作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切． 解：如图所示，在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线x＝1，单位圆与x轴交于点A(1，0). 作的终边与单位圆的交点P，过P作x轴的垂线，垂足为M.延长线段PO，交直线x＝1于T， 则的正弦线为，余弦线为，正切线为. 可类似得到的正弦线为，余弦线为，正切线为. 在图中，根据直角三角形的知识可知， MP＝，OM＝，AT＝，ON＝NR＝，AS＝1， 所以sin ＝，cos ＝－，tan ＝－ sin ＝，cos ＝，tan ＝1. 三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从A(1，0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT [训练1]　在单位圆中作出满足cos α＝的角α的终边，并作出其正弦线、余弦线和正切线． 解：如图①，作直线x＝交单位圆于点P，Q，则 OP，OQ为角α的终边． 如图②所示，当α的终边是OP时， 角α的正弦线为，余弦线为，正切线为. 当α的终边为OQ时，角α的正弦线为，余弦线为，正切线为. 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 与sin ；(2)tan 与tan ； (3)cos 与cos . 解：如图，画出角与的正弦线、余弦线、正切线，sin ＝M1P1，sin ＝M2P2，tan ＝AT1，tan ＝AT2，cos ＝OM1，cos ＝OM2，由图形观察可得： M1P1>M2P2，AT1<AT2，OM1>OM2， ∴(1)sin >sin ；(2)tan <tan ； (3)cos >cos . 利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点 (1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线． (2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向 [训练2]　已知a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则(　　) A．a<b<c　　　　　　　 B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c D　解析：<<，作出角的三角函数线如图： 可知：b<a<c. 求证：当α∈时，sin α<α<tan α. 证明：如图， 设角α的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连接AP，则 在Rt△POM中，sin α＝MP. 在Rt△AOT中，tan α＝AT. 又根据弧度制的定义，有＝α·OP＝α. 易知S△POA<S扇形POA<S△AOT， 即OA·MP<·OA<OA·AT， 所以MP<<AT， 即sin α<α<tan α. 利用三角函数线证明不等式的步骤 (1)分析所要证明的三角不等式的特点； (2)把不等式中每一项对应的元素在单位圆中用三角函数线表示出来； (3)将三角不等式的问题转化