7.2.1 三角函数的定义（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

7．2　任意角的三角函数 7．2.1　三角函数的定义 课程标准 学科素养 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用． 2．会判断三角函数在各象限的符号． 通过对三角函数定义的学习，强化数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，称为角α的正弦，记作sin α；称为角α的余弦，记作cos α，因此sin α＝，cos α＝. 当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝.角α的正弦、余弦、正切都称为α的三角函数． 1．已知角α的终边过点P(－1，2)，则cos α的值为(　　) A．－　 B．－　　　 C．　　　 D． A　解析：由题意得：r＝＝， cos α＝＝－. 2．若角α的终边上有一点(0，－1)，则tan α的值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．不存在 D　解析：因为角α的终边上有一点(0，－1)，所以角的终边落在y轴的负半轴上，其正切值不存在． 当且仅当α的终边在第一、二象限，或y轴正半轴上时，sin α>0；当且仅当α的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时，sin α<0. 当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时，cos α>0；当且仅当α的终边在第二、三象限，或x轴负半轴上时，cos α<0. 当且仅当α的终边在第一、三象限时，tan α>0；当且仅当α的终边在第二、四象限时，tan α<0. 如图所示： 根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1： “sin α＝：上正下负横为0；cos α＝：左负右正纵为0；tan α＝：交叉正负”． 形象的识记口诀2：“一全正二正弦，三正切四余弦”． 1．已知sin α＝，cos α＝－，则角α所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　解析：由sin α>0得角α的终边在第一或第二象限；由cos α<0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限． 2．当α为第四象限时，－的值是________． －2　解析：因为α为第四象限角，所以＝－1， ＝1.所以－＝－1－1＝－2. (1)如果角θ的终边经过点P(－，)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． (2)已知角θ的终边上有一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为________． (1)　－　－　解析：由题意知 r＝ ＝1，所以sin α＝＝＝， cos α＝＝－＝－，tan α＝＝＝－. (2)或　解析：因为r＝ ， cos θ＝，所以x＝ . 又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.又y＝3>0， 所以θ是第一或第二象限角． 当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3； 则sin θ＋tan θ＝. 当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3. 则sin θ＋tan θ＝. 求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．当已知坐标含参数时需注意分类讨论 [训练1]　角α的终边上有一点P(a，4)，且tan α＝，求3sin α－2cos α的值． 解：因为tan α＝＝，所以a＝3， 所以r＝ ＝5，sin α＝，cos α＝， 所以3sin α－2cos α＝－＝. 确定下列式子的符号： (1)tan 125°·sin 273°； (2)sin ·cos ·tan ； (3)tan 191°－cos 191°. 解：(1)因为125°角是第二象限角，所以tan 125°<0. 因为273°是第四象限角，所以sin 273°<0， 所以tan 125°·sin 273 °>0，式子符号为正． (2)因为是第三象限角，是第二象限角， 是第四象限角， 所以sin <0，cos <0，tan <0， 从而sin ·cos ·tan <0，式子符号为负． (3)因为191°为第三象限角， 所以tan 191°>0，cos 191°<0， 所以tan 191°－cos 191°>0，式子符号为正． 确定三角函数值在各象限内的符号的方法 (1)三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内的点的坐标的符号得出的． (2)口诀记忆：“一全正，二正弦、三正切、四余弦”，即第一象限全是正值，第二象限正弦值是正值，第三象限正切值是正值，第四象限余弦值是正值 [训练2]　若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β<0，则此三角形必为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 B　解析：三角形的两内角α，β的终边一定落