7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

7．1.2　弧度制及其与角度制的换算 课程标准 学科素养 1．理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数． 2．了解在弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 3．掌握并能运用弧长公式和扇形面积公式． 通过对弧度制与角度制的换算的学习，强化数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制，角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒． 2．我们称弧长与半径比值的这个常数称为圆心角的弧度数，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad，这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制． 1．下列说法正确的是(　　) A．1弧度就是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度为半径的弧 C．1弧度是一度的弧与一度的角之和 D．一弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 答案　D 2．在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角所对的弧长________．(填“相等”或“不相等”) 不相等　解析：由于1弧度的圆心角所对的弧长等于圆的半径，而两个圆的半径不等，故在两个圆中，1弧度的圆心角所对的弧长不相等． 1．角度与弧度的关系：180°＝π_rad． 2．设一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝. 3．特殊角的弧度数 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 弧度 0 角度 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 π 2π 1.弧度化为角度是(　　) A．110° B．160°　　 　 C．108°　　 　 D．218° C　解析：＝×180°＝108°. 2．把22°30′化为弧度的结果是________． 　解析：22°30′＝22.5°＝π＝. 1．在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝，所以l＝αr，即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积． 2．若l是扇形的弧长，r是扇形的半径，则扇形的面积公式是S＝lr. 1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　) A．π B．π C．π D．π A　解析：240°＝π＝π，∴弧长l＝αr＝π×10＝π. 2．已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，则扇形的面积是________． 80π(cm2)　解析：设扇形弧长为l， ∵72°＝72×＝(rad)， ∴l＝|α|r＝×20＝8π(cm)， ∴S＝lr＝×8π×20＝80π(cm2). 下列说法正确的是(　　) A．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 B．弧度只能用来表示正角 C．任意角的集合可以与实数集R建立一一对应关系 D．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 C　解析：1弧度的圆心角大小与圆的半径无关，故A错误；弧度和角度都可以表示任意角，故B错误；依据弧度制的定义知C正确；弧长与半径的大小有关，故D错误． 辨析弧度制与角度制 1．以弧度、度为单位的角，都是一个与半径无关的量； 2．1弧度是弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心角的大小，所以1弧度≠1度； 3．在同一个式子中，角度、弧度不可以混用 [训练1]　在圆中1 rad的圆心角所对的(　　) A．弦长相等 B．弧长相等 C．弦长等于所在圆的半径 D．弧长等于所在圆的半径 D　解析：根据弧度制的定义，因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角，所以1 rad的圆心角所对弧长等于所在圆的半径． 将下列各角度与弧度互化． (1)67.5°；(2)112°30′；(3)π. 解：(1)67.5°＝rad×67.5＝rad. (2)112°30′＝112.5°＝rad×112.5＝rad. (3)π rad＝×180°＝405°. 1．在进行角度制和弧度制的换算时，应先将角度制下的含分、秒形式的角化为小数形式并以度为单位后再用公式“π rad＝180°”换算． 2．特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应熟记 [训练2]　将下列各角度与弧度互化： (1)π；(2)－π；(3)－157°30′. 解：(1)π rad＝×180°＝75°； (2)－π rad＝－×180°＝－210°； (3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5× rad ＝－π rad. 已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S. 则l＝20－2r， ∴S＝lr＝(20－2r)·r＝－r2＋10r ＝－(r－5)2＋25(0<r<10). ∴当半