8.2.3 倍角公式（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

8．2.3　倍角公式 课程标准 学科素养 1．掌握二倍角公式及其变形公式应用． 2．二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切公式的区别与联系． 通过对倍角公式的学习，强化逻辑推理、数学运算的核心素养． 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令α＝β得： S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α； T2α：tan2α＝，这3个公式称为倍角公式． 公式C2α的变形：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． 1．sincos 等于(　　) A. B．　　　　 C．　　　　 D． B　解析：sin cos ＝sin ＝×＝. 2．已知tan α＝，则tan 2α＝________． 　解析：tan 2α＝＝＝. 求下列各式的值： (1)coscos ；(2)－cos2；(3)； (4)sin10°sin 50°sin 70°. 解：(1)原式＝＝ ＝＝＝. (2)原式＝＝－ ＝－cos＝－. (3)原式＝tan 300°＝tan (360°－60°)＝－tan 60°＝－. (4)原式＝cos 20°cos 40°cos 80° ＝ ＝·＝. 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． [训练1]　求下列各式的值． (1)cos 72°cos 36°；(2)＋. 解：(1)cos 36°cos 72°＝ ＝＝＝. (2)原式＝＝＝＝＝4. 已知cos (α＋) ＝ ， ≤α< ，求sin 2α，cos 2α的值． 解：∵ ≤α<， ∴ ≤α＋ <. 又cos (α＋)＝>0， ∴≤α＋< ， ∴sin (α＋) ＝－＝－ ＝－， ∴cos 2α＝sin (2α＋) ＝2sin (α＋) cos (α＋) ＝2×(－)×＝－. ∴sin 2α＝－cos (2α＋) ＝1－2cos2(α＋) ＝1－2×()2＝. [变式]　本例条件不变，求 的值． 解：由例2求得sin (＋α) ＝－， cos 2α＝－. ∴ ＝ ＝. 1．条件求值问题常有两种解题途径 (1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢； (2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． 2．当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通 [训练2]　已知sin α＋cos α＝(0＜α＜π)，则cos 2α＝________． －　解析：因为sin α＋cos α＝， 所以(sin α＋cos α)2＝，2sin αcos α＝－， 又0＜α＜π，所以sin α＞0，cos α＜0， 因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， 所以sin α－cos α＝， 所以cos 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－×＝－. 求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2A cos 2B； (2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos2θ. 证明：(1)左边 ＝－ ＝ ＝(cos 2A cos 2B－sin 2A sin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B) ＝cos 2A cos 2B＝右边， ∴等式成立． (2)证法一　左边＝cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝右边． 证法二　右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ ＝cos2θ ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边． 证明问题的原则及一般步骤 (1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． [训练3]　设α≠kπ＋，k∈Z，求证：tan (－)＝. 证明：左边＝＝ ＝ ＝＝＝右边． 所以tan ＝. 已知函数y＝cos2x＋sinx cos x＋1，x∈R. (1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； (2)求函数的单调递增区间． 解：(1)y＝cos2x＋sinx cos x＋1 ＝×＋×sin 2x＋1 ＝＋ ＝sin ＋. 当函数y取得最大值时，2x＋＝2kπ＋(k∈Z)即x＝kπ＋(k∈Z).故y取得最大值时，自变量x的集合为. (2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈