8.2.2 两角和与差的正弦、正切（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

8．2.2　两角和与差的正弦、正切 课程标准 学科素养 1．能利用两角和与差的正弦、正切公式进行化简求值． 2．掌握两角和与差的正弦、正切公式的逆用、变形用． 通过对两角和与差的正弦、正切的学习，增强逻辑推理、数学运算的核心素养． 根据两角和与差的余弦公式可推出两角和与差的正弦公式： Sα＋β：sin (α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β， Sα－β：sin (α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β． a sin x＋b cos x＝sin_(x＋φ)，(φ满足cos φ＝，sin φ＝，角φ的终边过点(a，b).) 1．sin 75°＝________． 　解析：sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝×＋×＝. 2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin (α＋)＝________． －　解析：∵cos α＝－，α是第三象限角，∴sin α＝－，∴sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝(－－)×＝－. Tα＋β：tan (α＋β)＝； Tα－β：tan (α－β)＝． 1．若tan α＝3，tan β＝，则tan (α－β)等于(　　) A．　　　　　　　　 B．－ C．3 D．－3 A　解析：tan (α－β)＝＝＝. 2．tan 75°＝________． 2＋　解析：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝＝＝＝2＋. (1)sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°等于(　　) A．　　　　　　　 B． C． D．1 (2)已知＜α＜，0＜β＜，cos ＝－，sin ＝，求sin (α＋β)的值． (1)C　解析：sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°＝sin (21°＋39°)＝sin 60°＝. (2)解：因为＜α＜π，所以＜＋α＜π. 所以sin ＝ ＝. 又因为0＜β＜，π＜π＋β＜π， 所以cos＝－＝－， 所以sin(α＋β)＝－sin (π＋α＋β) ＝－sin ＝－ ＝－＝. 两角和与差的正弦公式的一般使用方法 (1)正用：把sin (α±β)从左向右展开． (2)逆用：公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时，要用相关公式调节后再逆用． (3)变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变形；二是角的变形，也称为角的拆分变换，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β) [训练1]　已知α∈(0，)，β∈(，π)且sin (α＋β)＝，cos β＝－，求sin α. 解：因为β∈(，π)，cos β＝－，所以sin β＝. 又因为0＜α＜，＜β＜π， 所以＜α＋β＜，又sin (α＋β)＝，所以＜α＋β＜π， cos (α＋β)＝－ ＝－＝－， 所以sinα＝sin [(α＋β)－β] ＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β ＝×(－)－(－)×＝. 将下列各式写成A sin (ωx＋φ)的形式： (1)sin x－cos x； (2)sin ＋cos . 解：(1)sin x－cos x＝2 ＝2＝2sin . (2)sin ＋cos ＝ ＝ ＝cos ＝cos ＝sin . (1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝cos (α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． (2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质 [训练2]　sin (x＋)＝，则cos x＋cos (－x)的值为(　　) A．－　 B．　　　　 C．－　　　 D． B　解析：cos x＋cos (－x)＝cos x＋cos x＋sin x ＝cos x＋sin x＝sin (x＋)＝. (1)已知sin α＝，α是第二象限的角，且tan (α＋β)＝－，则tan β的值为(　　) A．－　 B．　　　　 C．－　　　 D． (2)的值等于__________． (1)C　解析：∵α为第二象限角， ∴cos α＜0，cos α＝－，∴tan α＝－. tan β＝tan [(α＋β)－α]＝ ＝＝－. (2)　解析：原式＝＝tan (45°＋15°)＝. 两角和与差的正切公式的应用策略 (1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan (－α)；＝tan (α＋). (2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”