8.1.3 向量数量积的坐标运算（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

8．1.3　向量数量积的坐标运算 课程标准 学科素养 1．能用坐标表示向量的数量积． 2．会用坐标表示两个平面向量的夹角． 3．能用坐标表示平面向量垂直的条件． 通过对向量的数量积的坐标运算的学习，发展直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1，e2之后，如果对于平面内的向量a，有a＝x_e1＋y_e2，则(x，y)就是向量a的坐标，记作a＝(x，y)． 2．设a＝(x1，y2)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，|a|2＝a·a＝x＋y，|a|＝，cos 〈a，b〉＝ . 3．在平面直角坐标系中，如果A(x1，y2)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝． 1．已知a＝(0，1)，b＝(2，－1)，则a·b等于(　　) A．1　 　 　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 B　解析：∵a＝(0，1)，b＝(2，－1)，∴a·b＝(0，1)·(2，－1)＝0×2＋1×(－1)＝－1. 2．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2，1)，3b＋a＝(5，4)，则cos θ＝(　　) A． B．　　　　 C．　　　　 D． D　解析：因为3b＝3b＋a－a＝(5，4)－(2，1)＝(3，3)， 所以b＝(1，1)， 所以cos θ＝＝＝＝. 设a＝(x1，y2)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y1＝0． 1．已知向量a＝(－5，6)，b＝(6，5)，则a与b(　　) A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 A　解析：∵－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b. 2．向量a＝(－1，2)，b＝(1，3)，下列结论正确的是(　　) A．a∥b B．a⊥b C．a∥(a－b) D．a⊥(a－b) D　解析：由a－b＝(－2，－1)，易得a·(a－b)＝0，故a⊥(a－b). 已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2). (1)求a·(a－b)； (2)求(a＋b)·(2a－b)； (3)若c＝(2，1)，求(a·b)c，a(b·c). 解：(1)方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)， ∴a－b＝(－4，0). ∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4. 方法二：a·(a－b)＝a2－a·b ＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4. (2)∵a＋b＝(－1，2)＋(3，2)＝(2，4)， 2a－b＝2(－1，2)－(3，2)＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)， ∴(a＋b)·(2a－b)＝(2，4)·(－5，2)＝2×(－5)＋4×2＝－2. (3)(a·b)c＝[(－1，2)·(3，2)](2，1) ＝(－1×3＋2×2)(2，1)＝(2，1). a(b·c)＝(－1，2)[(3，2)·(2，1)] ＝(－1，2)(3×2＋2×1)＝8(－1，2)＝(－8，16). 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算 [训练1]　已知a＝(2，1)，b＝(－1，3).若存在向量c，使得a·c＝4，b·c＝－9，试求向量c的坐标． 解：设c＝(x，y)， 则a·c＝(2，1)·(x，y)＝2x＋y＝4.① 由b·c＝－9，得b·c＝(－1，3)·(x，y)＝3y－x＝－9.② 联立①②得解得 ∴c的坐标为(3，－2). 已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，求a－2b及其模的大小． 解：∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)， ∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(3＋4，5－2)＝(7，3)， ∴|a－2b|＝＝. 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化 [训练2]　已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　) A．　　　　　　　　　 B． C．5 D．25 C　解析：∵a＝(2，1)，∴a2＝5， 又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50， 即a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. 角度1　向量垂直的坐标表示 已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R). (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 解：(1)∵a⊥b， ∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×