8.1.2 向量数量积的运算律（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

8．1.2　向量数量积的运算律 课程标准 学科素养 1．理解数量积的运算律，并会进行数量积的求模、求夹角运算． 2．会用数量积判断两个向量的垂直关系． 通过对向量数量积的运算律的学习，强化逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．交换律：a·b＝b·a． 2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 3．对加法满足分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c， 推广结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2； (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2． 1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　) A．－2　 　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 B　解析：因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1. 2．对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是(　　) A．|a·b|＝|a||b| B．|a＋b|＝|a|＋|b| C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a|＝ D　解析：因为a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉，所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；因为(a·b)c是向量，且与向量c共线，a(b·c)是向量，且与向量a共线，所以C错误；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以，|a|＝，所以D正确． 已知|a|＝3，|b|＝4，|c|＝5，向量a，b的夹角是120°，a，c的夹角是45°.求： (1)a·b； (2)(a－2b)·(3a＋b)； (3)a·(a－4b＋c). 解：(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×(－)＝－6. (2)(a－2b)·(3a＋b)＝3a2＋a·b－6a·b－2b2＝3|a|2－5a·b－2|b|2＝3×32－5×3×4×cos 120°－2×42＝25. (3)a·(a－4b＋c)＝a2－4a·b＋a·c ＝|a|2－4|a||b|cos 120°＋|a||c|cos 45° ＝32－4×3×4×(－)＋×3×5×＝48. 求向量数量积的一般步骤 (1)运用数量积的运算律展开、化简； (2)确定向量的模与夹角； (3)套用数量积的定义式代入计算即得． [训练1]　已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b). 解：(2a＋3b)·(3a－2b) ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2 ＝6|a|2＋5|a|·|b|cos 120°－6|b|2 ＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268. 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求： (1)|a＋b|； (2)|(a＋b)·(a－2b)|. 解：由已知a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4， a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4. (1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝2. (2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12. 根据数量积的定义a·a＝|a||a|cos 0°＝|a|2，得|a|＝，这是求向量的模的一种方法．即要求一个向量的模，先求这个向量与自身的数量积(一定非负)，再求它的算术平方根．对于复杂的向量也是如此．例如，求|a＋b|，可先求(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)，再取其算术平方根即为|a＋b| [训练2]　若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为(　　) A．2 B．4　　　　 C．6　　　　 D．12 C　解析：∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72， ∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6. (1)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，若(2a＋b)⊥(a＋λb)，则λ＝________． (2)已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，则b与a＋b的夹角是________． (1)－　解析：∵(2a＋b)⊥(a＋λb)， ∴(2a＋b)·(a＋λb)＝0， ∴2a2＋2λa·b＋a·b＋λb2＝0. ∵|a|＝|b|＝1，且a与b的夹角为， ∴2＋λ＋＋λ＝0.∴λ＝－. (2)30°　解析：由|a|＝|b|，得|a|2＝|b|2， 又由|b|＝|a－b|