8.1.1 向量数量积的概念（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

8．1　向量的数量积 8．1.1　向量数量积的概念 课程标准 学科素养 1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义． 2．会计算平面向量的数量积． 3．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 4．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 通过对向量数量积概念的学习，增强数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养． 1．给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉． 2．当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b，由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直． 1．在等边三角形ABC中，向量与的夹角为(　　) A．60°　 B．120°　　　 C．90°　 　 　 D．30° A　解析：因为三角形ABC是等边三角形，所以∠BAC＝60°，即向量与的夹角为60°. 2．若向量a与b的夹角为60°，则向量a与－b的夹角是(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° B　解析：平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示， 向量a与－b的夹角是180°－60°＝120°. 1．数量积的定义：一般地，当a，b都是非零向量时，称|a||b|cos 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_〈a，b〉． 当a与b至少有一个是零向量时，则它们的数量积(即内积)为0，即a·b＝0. 2．任意给定两个平面向量a，b，都有确定的数量积a·b，并且是一个实数． 3．数量积的性质：(1)|a·b|≤|a||b|；(2)a·a＝|a|2，即|a|＝；(3)a⊥b ⇔a·b＝0；(4)cos 〈a，b〉＝. 1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于(　　) A．1 B． C．3 D．3 C　解析：a·b＝|a||b|cos θ＝2cos 30°＝2×＝3. 2．若|a|＝3，|b|＝6，a·b＝9，则向量a与b的夹角等于________． 30°　解析：由于cos θ＝＝＝，所以θ＝30°，故向量a与b的夹角等于30°. 知识点3　向量的投影与向量数量积的几何意义 1．设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影． 2．如果a，b都是非零向量，则称|a|cos_〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量． 3．数量积的几何意义：两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积． 1．已知|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量为2b，则a·b＝________． 18　解析：∵a在b上的投影向量为|a|cos θ＝b，∴＝2，即|a|cos θ＝6.∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×6＝18. 2．已知|b|＝3，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量的数量为________． 4　解析：设向量a在向量b上的投影向量的数量为x，则有a·b＝|b|·x，∴x＝＝4. 已知向量|a|＝3，|b|＝2，分别求下列条件下a·b的值． (1)a，b的夹角为；(2)a，b的夹角为；(3)a，b共线． 解：(1)a·b＝|a||b|cos ＝3×2×＝3. (2)a·b＝|a||b|cos ＝3×2×0＝0. (3)当a，b同向时，a，b的夹角为0， a·b＝|a||b|cos 0＝3×2×1＝6； 当a，b反向时，a，b的夹角为π， a·b＝|a||b|cos π＝3×2×(－1)＝－6. 求向量数量积的一般步骤 (1)确定向量的模与夹角； (2)套用数量积的定义式代入计算即得 [训练1]　在正三角形ABC中，边长为4，求 (1)·；(2)·. 解：(1)·＝||||cos ＝4×4×＝8. (2)〈，〉＝π－＝， ∴·＝||||cos ＝4×4×(－)＝－8. 已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为，则向量a在向量e上的投影向量是____________；向量e在向量a上的投影向量是____________． －2e　－a　解析：向量a在向量e上的投影向量是|a|cos θe＝4cos e＝－2e.因为与向量a方向相同的单位向量为＝a，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cos θ＝cos ×a＝－a. 向量a在向量b上的投影向量的求法 将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e是与b方向相同的单位向量，且e＝)中计算即可 [训练2]　已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b上的投影向量是________．