7.3.5 已知三角函数值求角（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

7．3.5　已知三角函数值求角 课程标准 学科素养 1.已知特殊角的三角函数值，会求指定范围内的特殊角． 2.已知三角函数值，掌握利用计算器求指定范围内的角． 通过对已知三角函数值求角的学习，强化直观想象、数学运算的核心素养． 在单位圆中，是正弦线，是余弦线，是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小． 　sin x＝，x∈(0，2π)，则x＝________． 答案：或 事实上，在数学中，任意给定一个y∈[－1，1]，当sin x＝y且x∈时，通常记作x＝arcsin y. 在区间[0，π]内，满足cos x＝y(y∈[－1，1])的x只有一个(参见图7­3­19或余弦曲线)，这个x记作arccos y，即x＝arccos y； 在区间内，满足tan x＝y(y∈R)的x只有一个(参见图7­3­20或正切曲线)，这个x记作arctan y，即x＝arctan y. (1)arcsin ＝________； (2)arccos ＝________； (3)arctan 1＝________． (1)　解析：sin ＝，∴arcsin ＝. (2)　解析：∵cos ＝－，∴arccos ＝. (3)　解析：∵tan ＝1，∴arctan 1＝. 分别求满足下列条件的x的值： (1)sin x＝，x∈[－π，π]；(2)cos x＝－，x∈；(3)tan x＝－1，x∈；(4)sin x＝，x是锐角． 解：(1)∵sin x＝，x∈[－π，π]，∴x＝或. (2)∵cos x＝－，x∈，∴x＝或. (3)∵tan x＝－1，x∈，∴x＝－. (4)∵sin x＝，x∈，∴x＝arcsin . 已知三角函数值求角时，需要注意x的取值范围 [训练1]　求满足cos ＝，x∈[0，π]的x的值． 解：∵cos ＝，∴2x＋＝2kπ±，k∈Z， ∴x＝kπ或kπ－，k∈Z， ∵x∈[0，π]，∴x＝0，，π. 探究二　利用单位圆中的三角函数线解不等式 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥；(2)cos α≤－. 解：(1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①中阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为 . (2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图②中的阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为 . 利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法 (1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角x满足条件的终边的位置． (2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值． (3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求． 提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合 [训练2]　求函数y＝的定义域． 解：由题意得：2cos x－1≥0，则有cos x≥. 如图在x轴上取点M1使OM1＝，过M1作x轴的垂线交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2.则OP1与OP2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x的终边的范围． ∴满足cos x ≥ 的角的集合即y＝的定义域为. 写出sin x<的解集． 解：作出y＝sin x，x∈及y＝的图象如下： 由函数图象可知sin x<时，<x<， 所以sin x <的解集为. 用三角函数的图象解sin x>a(或cos x>a)的方法 (1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象； (2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值； (3)选取一个合适周期写出sin x>a(或cos x>a)的解集，要尽量使解集为一个连续区间 [训练3]　求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝. 解：(1)要使y＝有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－. 结合正弦曲线或三角函数线，如图所示： 知函数y＝的定义域为 . (2)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0. 利用图象．在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，， 再结合正弦、余弦函数的图象．所以定义域为 . 1．设α∈(0，π)，且cos α＝－，则α＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 答案：C 2．已知tan α＝－1，且α∈[0，π)，那么α的值等于(　　) A． B． C． D． 答案：C 3．已知角A是△ABC的内角，则“sin A＝”是“A＝”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C