7.3.4 正切函数的性质与图象（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

7．3.4　正切函数的性质与图象 课程标准 学科素养 1.能画出正切函数的图象． 2.掌握正切函数的性质． 通过对正切函数的性质与图象的学习，强化“数学抽象”、“数学运算”的核心素养． 1．正切函数y＝tan x的定义域是，值域是R． 2．正切函数y＝tan x是奇函数． 3．正切函数y＝tan x周期为π的周期函数． 4．正切函数y＝tan x在每一个开区间(k∈Z)上都是单调递增的． 5．正切函数y＝tan x的零点是 kπ(k∈Z)． 1．下列说法正确的是(　　) A．正切函数在整个定义域内是增函数 B．正切函数在整个定义域内是减函数 C．函数y＝3 tan 的图象关于y轴对称 D．若x是第一象限角，则y＝tan x是增函数 C　解析：由正切函数性质可知A、B、D均不正确， 又y＝3tan ＝3tan |x|为偶函数，故其图象关于y轴对称． 2．f(x)＝tan (x＋π)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 A　解析：f(x)定义域为，f(x)＝tan (x＋π)＝tan x，由tan (－x)＝－tan x知f(x)为奇函数． 1．取内的几个点，列表如下． x 0 y＝tan x 0 1 再由正切函数的对称性，可得其在一个周期内的图象，如图： 2．y＝tan x的函数图象称为正切曲线，是中心对称图形，对称中心为k∈Z． 1．函数y＝tan ，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的一个对称中心是(　　) A．(0，0)　　　　　　　 B． C． D．(π，0) C　解析：由x＋＝，k∈Z，得x＝－，令k＝2，得x＝. 2．求函数y＝2tan 的图象的对称中心坐标． 解：因为y＝tan x的图象的对称中心坐标为k∈Z，故由x－＝，得x＝＋，k∈Z，所以y＝2tan (x－)的图象的对称中心坐标为k∈Z. 求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝lg (－tan x)； (3)y＝tan . 解：(1)要使函数y＝有意义， 必须且只需 所以函数的定义域为 . (2)因为－tan x>0，所以tan x< . 又因为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)， 根据正切函数图象，得kπ－<x<kπ＋(k∈Z)， 所以函数的定义域是. (3)由2x－≠＋kπ，k∈Z得，x≠＋kπ，k∈Z， 所以y＝tan 的定义域为 . 求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即. (2)求正切型函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x [训练1]　函数y＝ tan 的定义域是(　　) A． B． C． D． B　解析：由题意tan >0， 即tan <0， 所以kπ－<x－<kπ，k∈Z， 所以kπ－<x<kπ＋，k∈Z. 所以函数的定义域是. (1)求函数y＝3tan 的单调区间； (2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小． 解：(1)化简得，y＝－3tan ， 由－＋kπ<2x－<kπ＋，k∈Z， 解得－＋<x<＋，k∈Z. ∴函数的单调减区间是，k∈Z. (2)∵tan 2＝tan (2－π)，tan 3＝tan (3－π). 又∵<2<π，∴－<2－π<0. ∵<3<π，∴－<3－π<0， 显然－<2－π<3－π<1<， 且y＝tan x在内是增函数， ∴tan (2－π)<tan (3－π)<tan 1， 因此tan 2<tan 3<tan 1. 1．对于求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x的系数化为正值，再由kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z，求得x的范围即可． 2．运用正切函数的单调性比较大小的步骤： (1)运用诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系 [训练2]　(1)求函数y＝－tan 的单调减区间； (2)比较tan 与tan 的大小． 解：(1)∵y＝－tan 的单调减区间满足kπ－<－<kπ＋(k∈Z)， ∴kπ－<<kπ＋π(k∈Z)， ∴4kπ－π<x<4kπ＋π(k∈Z)， ∴y＝－tan 的单调减区间是 (k∈Z). (2)tan ＝tan ＝tan ＝tan π， tan ＝tan ＝tan ＝tan π. ∵y＝tan x在内单调递增，且<π<π<π， ∴tan π>tan π.即tan >tan . 已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最值及相应的x值． 解：因为－≤x≤，所以－≤tan x≤1， f(x)＝tan2x＋2tan