7.3.2 正弦型函数的性质与图象（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

7．3.2　正弦型函数的性质与图象 课程标准 学科素养 1.“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)的图象与求函数图象对应的函数解析式． 2.正弦曲线与y＝A sin (ωx＋φ)的图象的关系，特别是ω对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响． 通过对正弦型函数的性质与图象的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养． 知识点1　y＝A sin x(A≠0)型函数的性质 1．正弦型函数：一般地，形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数，在物理、工程等学科的研究中经常遇到，这种类型的函数称为正弦型函数，其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0. 2．函数y＝A sin x(A≠0)的定义域为R，值域为，周期是2π． 3．y＝A sin x的图象可由y＝sin x的图象上的点，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍得到． 1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0)的最大值为5，则A＝(　　) A．5　 B．－5　 　 　C．4　　 　　D．－4 C　解析：因为A>0，所以当sin (ωx＋φ)＝1时，ymax＝A＋1＝5，所以A＝4. 2．将y＝sin 2x的图象上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到________的图象． y＝sin 2x　解析：y＝sin 2x的图象上的所有点的纵坐标都变为原来的倍得到y＝sin 2x. 知识点2　y＝sin (x＋φ)型函数的性质 1．函数y＝sin (x＋φ)的定义域为R，值域为[－1，1]，周期是2π． 2．y＝sin (x＋φ)的图象可由y＝sin x的图象向左(或右)平移得到． 1．要得到函数y＝sin 的图象，可以将函数y＝sin x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 B　解析：将函数y＝sin x的图象向右平移个单位 长度得y＝sin 的图象． 2．若将某正弦函数的图象向右平移个单位后，所得到的图象的函数表达式是y＝sin ，则原来的函数表达式为(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin － A　解析：y＝sin 向左平移个单位后，得到原函数y＝sin . 知识点3　y＝sin ωx(ω≠0)型函数的性质 1．函数y＝sin ωx(ω≠0)的定义域为R，值域为[－1，1]，周期是． 2．y＝sin ωx的图象可由y＝sin x图象上的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的得到． 1．用五点法作y＝2sin 2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是(　　) A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， B　解析：由2x＝0，，π，，2π，得x＝0，，，，π. 2．将函数y＝sin 3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)可得到函数________的图象． y＝sin 9x　解析：将函数y＝sin 3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)可得，函数y＝sin (3×3x)＝sin 9x的图象． 知识点4　y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)型函数的性质 1．正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的定义域为R，值域为[－|A|，|A|]，周期是． 2．y＝A sin (ωx＋φ)的图象可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到． 3．A，ω，φ的实际意义：(1)|A|表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；(2)φ在决定t＝0时小球的位置中起关键作用，称为初相；(3)周期T＝表示小球完成一次运动所需要的时间，f＝＝表示1 s内能完成的运动次数，称为频率． 1．函数y＝2sin 的周期、振幅依次是(　　) A．4π，－2 B．4π，2 C．π，2 D．π，－2 B　解析：在y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，T＝，A叫振幅(A>0)，故y＝2sin 的周期T＝＝4π，振幅为2. 2．函数y＝3sin 的频率为________，相位为________，初相为________． 　x－　－　解析：函数y＝3sin 的周期为T＝＝4π， 所以频率为f＝＝， 相位是ωx＋φ＝x－，初相是－. 探究一　用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的简图 已知函数f(x)＝3sin ＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象． 解：列表： x － ＋ 0 π 2π f(x) 3 6 3 0 3 描点作图： 1．“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出该函数一个周期内的图象，