2.3 第2课时 和差化积与积化和差公式（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

第二课时　和差化积与积化和差公式 课程内容标准 学科素养凝练 能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差及和差化积公式，并能运用公式进行简单的恒等变换 在推导及运用和差化积及积化和差公式的基础上，提升逻辑推理及数学运算素养 1．和差化积公式 (1)cos α＋cos β＝2cos cos ； (2)sin α＋sin β＝2sin cos ； (3)sin α－sin β＝2cos sin ； (4)cos α－cos β＝－2sin sin . 这四个公式叫作和差化积公式，利用它们和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积的形式． 和差化积公式顺口溜： 和差化积两倍半；和半排在差半前． 两余弦，积同源(谐“弦”)；两正弦，积名变． 加号相连后余弦；减号相连后正弦． 余余相减余不见；丢个负号放前面． 2．积化和差公式 (1)sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； (2)cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]； (3)cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]； (4)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘常数的形式，常用于三角函数的求值和化简． 积化和差公式顺口溜： 积化和差取一半；和角排在差角前． 同名积，两余弦；异名积，两正弦． 余弦在后加号连；正弦在后减号连． 积中有鱼(谐“余”)正脸看；积中无鱼(谐“余”)闭上眼． 3．形如a sin x＋b cos x的三角函数式的变形 a sin x＋b cos x＝ (sin x＋cos x)， 令cosφ＝，sin φ＝， 则a sin x＋b cos x＝(sin x cosφ＋cos x sinφ)＝sin (x＋φ). (其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tanφ＝确定，或由sinφ＝和cosφ＝共同确定．) 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)sin αsin β＝[cos (α－β)－cos (α＋β)](　　) (2)cos αcos β＝[cos (α－β)＋cos (α＋β)](　　) (3)sin αcos β＝[sin (α－β)＋sin (α＋β)](　　) (4)cos αsin β＝[sin (α－β)－sin (α＋β)](　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)　√　(4)× 2．sin cos 的值是(　　) A．1－　　　　　　　 B．(2＋) C．(2－) D．(－1) C　[sin cos ＝[sin ＋sin ]＝×＝.] 3．sin 105°＋sin 15°＝________． 　[sin 105°＋sin 15°＝2sin cos ＝2sin 60°cos 45°＝2××＝.] 4．函数y＝－sin x＋cos x在上的值域是____________． [0， ]　[y＝－sin x＋cos x＝2sin . 又∵－≤x≤，∴0≤－x≤.可知y＝2sin (－x)在上单调递增，y|x＝＝0，y|x＝＝2×＝，∴2sin ∈[0， ]，∴0≤y≤.] 探究一　用积化和差与和差化积公式化简求值 [知能解读]　对于给式求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看 能否直接求结果；若不能，则再对所求化简，直到找到两者的联系为止．“走一走，看一看”对解此类问题是非常必要的．试图利用已知等式及平方关系分别求取cos α，cos β，sin α，sin β的值，导致运算繁琐，难以求解． 求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 解题流程： 第一步　泛读题目明确待求结论：已知非特殊角的三角函数求值． 第二步　精读题目挖掘已知条件：已知sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 第三步　建立联系寻找解题思路：利用积化和差公式，建立角之间的关系． 第四步　书写过程规范养成习惯． 解　sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°) ＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝． [方法总结]　套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来． [训练1]　求值：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°. 解　原式＝cos 20°＋＋(cos 100°＋cos 140°) ＝cos