2.1.2 两角和与差的正弦公式（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

2．1.2　两角和与差的正弦公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.能从两角差(和)的余弦公式推导出两角差(和)的正弦公式． 2.熟练利用两角和与差的正弦公式进行三角函数求值、化简和证明 通过用两角和与差的正弦公式进行化简、求值，提升学生的逻辑推理、数学运算素养 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 正弦公式 S(α＋β) sin (α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ α，β∈R 两角差的 正弦公式 S(α－β) sin (α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ α，β∈R 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)任意角α，β，都有sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(　　) (2)存在角α，β，使sin (α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.(　　) (3)存在α，β∈R，使得sin (α－β)＝sin α－sin β成立．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－　　　　B．　　　　C．－　　　　D． D　[原式＝sin 20°cos 10°－cos (180°－20°)sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝sin 30°＝.] 3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin ＝________． －　[∵cos α＝－，α是第三象限的角， ∴sin α＝－＝－， ∴sin＝sin α－cos α＝×－×＝－.] 4.cos 15°＋sin 15°＝________． 　[原式＝sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15°＝sin (30°＋15°)＝sin 45°＝.] 求下列各式的值： (1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (2)sin － cos ； (3). 解　(1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin (90°－14°)cos (90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin (14°＋16°)＝sin 30°＝. (2)法一　原式＝2(sin －cos ) ＝2(sin sin －cos cos ) ＝－2cos ＝－2cos ＝－. 法二　原式＝2(sin －cos ) ＝2(cos sin －sin cos ) ＝2sin ＝－2sin ＝－. (3) ＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. [方法总结]　解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子，分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． [训练1]　求下列各式的值： (1) ； (2)sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°). 解　(1)原式＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. (2)设α＝θ＋15°， 则原式＝sin (α＋60°)＋cos (α＋30°)－cos α ＝(sin α＋cos α)＋(cos α－sin α)－cos α＝0. (1)已知sin α＝，cos β＝－，且α，β均为第二象限角，求sin (α＋β)，sin (α－β)； (2)已知＜β＜α＜，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，求sin 2α的值． 解　(1)∵sin α＝，cos β＝－，且α，β均在第二象限， 故cos α＝－＝－＝－， sin β＝＝＝， 故sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝， sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝. (2)∵＜β＜α＜，∴＜α＋β＜，0＜α－β＜. 又∵cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－， ∴sin (α－β)＝，cos (α＋β)＝－， ∴sin 2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)＝×＋×＝－. [方法总结]　 (1)给值(式)求值的策略 ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”和或差的形式． ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解． [训练2]　已知<α<，0<β<， co