1.7 平面向量的应用举例（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．7　平面向量的应用举例 课程内容标准 学科素养凝练 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、物理问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力 通过运用向量解决简单的物理及几何问题，提升数学运算及数学建模素养 1．向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量方法解决物理问题的步骤 (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若△ABC为直角三角形，则有·＝0.(　　) (2)在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为菱形．(　　) (3)功是力F与位移s的数量积，即W＝F·s.(　　) (4)在物体的运动过程中，力越大，做功越多．(　　) (5)动量mv是数乘向量．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2．用F推动一物体G，使其沿水平方向运动s，F与G的垂直方向的夹角为θ，则F对物体G所做的功为(　　) A．F·scos θ　　　　　　　 B．F·ssin θ C．|F||s|cos θ D．|F||s|sin θ D　[如图，F与s的夹角为－θ， ∴W＝|F||s|cos ＝ |F||s|sin θ.] 3．△ABC中，·>0，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 C　[因为△ABC中，· >0，则||||cos (π－B)>0， 即cos (π－B)>0，cos B<0，角B为钝角，所以三角形为钝角三角形，故选C.] 4．一艘船以3 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，同时河水的流速为3 km/h，则船实际航行速度为________ km/h，与河岸的夹角为________． 3　45°　[ 结合题意作图如图所示， 在Rt△ABC中， ∵||＝3 km/h，||＝3 km/h， ∴||＝＝＝3 km/h. ∵tan ∠CAB＝＝1，∴∠CAB＝45°. 故该船实际航行的速度的大小为3 km/h，方向与河岸的夹角为45°.] 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC. 求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小． 解　(1)设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. ∴||2＝2 ＝ ＝a2＋2×a·b＋b2 ＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9 ＝3. ∴AD＝. (2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角． ∴cos θ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0. ∴θ＝90°，即∠DAC＝90°. [方法总结]　向量线性运算法的四个步骤：①选取基；②用基表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化． [训练1]　(1)若平面四边形ABCD满足＝2，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　) A．矩形　　　　　　　　 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．平行四边形 B　[根据＝2可知四边形ABCD的对边平行且不相等，故四边形ABCD为梯形， 因为(－)·＝·＝0⇒⊥， 所以∠BAD＝90°，所以梯形的腰AD与底边垂直， 则该四边形一定是直角梯形．] (2)△ABC中，若动点D满足2－2＋2·＝0，则点D的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 A　[如图，取AB的中点E，则 2－2＋2·＝(＋)·(－)＋2·＝2·＋2·＝2·(－)＝2·＝0， 所以AB⊥ED，即点D在AB的垂直平分线上， 所以点D的轨迹一定通过△ABC的外心．] 已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0). (1)求力F1，F2分别对质点所做的功； (2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功． 解题流程： 第一步　泛读题目明确待求结论：求力对质点所做的功． 第二步　精读题目挖掘已知条件：两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，质点由点A(20，15)移动到点B(7，0)． 第三步　建立联系寻找解题思路：利用向量的物理意义求解． 第四步　书写过程规范养成习惯． 解　(1)＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)， ∴W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－