1.6.1 余弦定理（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．6　解三角形 1．6.1　余弦定理 课程内容标准 学科素养凝练 通过对任意三角形边长和角关系的探索，掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 通过学习余弦定理，并运用定理解决简单的三角形度量问题，提升数学抽象及数学运算素养 1．三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍，即 a2＝b2＋c2－2bc cos A． b2＝a2＋c2－2a ccos B． c2＝a2＋b2－2ab cos C． 2．余弦定理的另一种形式 cos A＝. cos B＝. cos C＝. 1．已知三角形的三条边长，可求出三个内角． 2．已知三角形的两边及夹角，可求出第三边． 3．将角的余弦值用边来表示． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．(　　) (2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) (3)在△ABC中，已知两边及其夹角时，△ABC不唯一．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　　) A．　　　B．8　　　C．10　　　D．7 D　[由余弦定理得 c＝＝＝7.] 3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于(　　) A．60° B．45° C．120° D．30° C　[由cos A＝＝－，0°＜A＜180°，得A＝120°.] 4．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则B＝________． 60° 　[cos B＝＝＝，又0°<B<180°，∴B＝60°.] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos (A＋B)＝，则c等于(　　) A．4　　　　B．　　　　C．3　　　　D． D　[由三角形内角和定理可知 cos C＝－cos (A＋B)＝－. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋4－2×3×2×＝17. 所以c＝.] [方法总结]　已知两边及夹角解三角形解题策略：可直接利用余弦定理求第三边，或者利用余弦定理得到关于第三边的方程． [训练1]　在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________． 1　[∵c2＝a2＋b2－2ab cos C， ∴()2＝a2＋12－2a×1×cos . ∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0. ∴a＝1或a＝－2(舍去).∴a＝1.] 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. 解　根据余弦定理，得 cos A＝＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. cos C＝＝＝. ∵C∈(0，π)，∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝. ∴A＝，B＝，C＝. [变式]　将本例中的条件变为“在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7”，试求该三角形的最大内角． 解　由a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0).因此c边是最大边，其所对角C为最大内角． 由余弦定理推论，得 cos C＝＝＝－. 又0°＜A＜180°，∴C＝120°.即最大内角为120°. [方法总结]　已知三边解三角形解题策略：先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． [训练2]　在△ABC中，a︰b︰c＝1︰︰2，求A，B，C的值． 解　由于a︰b︰c＝1︰︰2，可设a＝x，b＝x， c＝2x. 由余弦定理推论，得cos A＝＝＝. ∵0<A<π，∴A＝. 同理可得cos B＝， ∵0<B<π，∴B＝，∴C＝π－A－B＝. [知能解读]　 1．利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即运用转化的思想解决这类问题，一般有两条思路： (1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出角的大小或角的正、余弦值符号； (2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式． 2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论： (1)△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2. 在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断△ABC的形状． 解　由余弦定理推论知cos A＝，cos B＝，cos C＝，代入已知条件得 a·＋b·＋c·＝0， 通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0， 展开整理