6.1 走近异彩纷呈的数学建模世界（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

6．1　走进异彩纷呈的数学建模世界 1．数学建模活动 数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．该过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题． 2．数学模型 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据其特有的内在规律做出一些必要的简化假设，并运用合适的数学工具得到的一个数学结构． 3．数学建模 数学建模过程是应用数学方法，通过建立数学模型来解决实际问题的过程．即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解． 数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学语言、方法去近似地刻画该实际问题，这种刻画的数学表述就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程．数学模型一经提出，就要用一定的技术手段(计算、证明等)来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起了一个高潮． 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一． 4．案例：哥尼斯堡七桥问题 [教学过程] 实际问题：普雷格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城(现为俄罗斯的加里宁格勒).普雷格尔河有两条支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，在河上有七座桥，如图． 岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂，居民经常到河岸和桥上散步．在18世纪初的一天，有人突发奇想：如何才能走过这七座桥，而每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？人们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，却始终不得其解．这就是著名的哥尼斯堡七桥问题． 1．实际问题的数学表述 七桥问题引起了数学家欧拉的极大兴趣．他想：经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径，会不会根本不存在这样的走法？ 首先，欧拉想到的是列举法，就是把所有的走法都一一列出来，再一个一个验证．但是，他很快发现这样做太麻烦了，因为对七座桥的不同走法共有5 040种，并且这种方法不具有通用性． 经过反复思考，欧拉想到：岛的形状、大小，以及桥的长短、宽窄并不影响结果，重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系．不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点，连接陆地的7座桥看作7条线，就得到如图的图形．实际问题中的陆地、河流和桥梁景观就不见了，七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题．这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型． 2．数学问题的解决 欧拉注意到，如果这样的图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是“经过点”．“经过点”的特征是：只要从一条线进入这个点，就要从另一条线离开这个点．有进无出，只能是终点；有出无进，只能是起点．若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶顶点；否则称为奇顶点．显然“经过点”是偶顶点．如果起点和终点是同一个点，那么这个点也是偶顶点． 一笔画定理：一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件： (1)图形是连在一起的，即是连通图形； (2)图形中的奇顶点个数为0或2. 3．用数学结论解答原问题 在七桥问题中，四个点全是奇顶点，不能一笔画，即不可能一次无重复地走完七座桥． 附：课题研究实例 测量学校内、外建筑物的高度 [目的]　运用所学知识解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整过程．组织学生通过分组、合作等形式，完成选题、开题、做题、结题四个环节． [情境]　给出下面的测量任务： (1)测量本校的一座教学楼的高度； (2)测量本校的旗杆的高度； (3)测量学校院墙外的一座不可及，但在学校操场上可以看到的物体的高度． 可以每2～3个学生组成一个测量小组，以小组为单位完成；每人分别填写测量课题报告表，一周后上交． 测量课题报告表 项目名称：__________　　　　　　完成时间：__________ 1.成员与分工 姓名 分工 2.测量对象 例如，某小组选择的测量对象：旗杆、教学楼、校外的××大厦 3.测量方法(请说明测量的原理、测量工具、创新点等) 4.测量数据、计算过程和结果(可以另外附图或附页) 5.研究结果(包括误差分析) 6.简述工作感受 [要求]　(1)成立项目小组，确定工作目标，准备测量工具． (2)小组成员查阅有关资料，进行讨论交流，寻求测量效率高的方法，设计测量方案(最好设计两套测量方案). (3)分工合作，明确责任．如测量，记录数据，计算求解，撰写报告的分工等． (4)撰写报告，讨论交流．可以用照片、模型、PPT等形式展现获得的成果． 根