7.1.2 复数的几何意义（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

7．1．2　复数的几何意义 课程标准 核心素养 1．理解复数的代数表示及其几何意义． 2．掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念． 1．会运用复数的几何意义求模及轨迹形状问题．(直观想象) 2．会构造平面向量将复数转化为图形问题解决．(数学建模) 1．复平面 有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？ 答案：不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z（a，b）． （2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量． 若复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点位于复平面内的第三象限，则复数的实部与虚部满足什么条件？ 答案：当a<0，b<0时，复数对应的点位于复平面内的第三象限． 已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为(　　) A．(0，－1) B．(－1，0) C．(0，0) D．(－1，－1) A　解析：复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1)．故选A． 3．复数的模 复数 的模 定义 向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 记法 复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi| 公式 |z|＝|a＋bi|＝ 已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________． 　解析：∵z＝1＋2i，∴|z|＝＝． 4．共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi，那么z＝a－bi． 数z＝a＋bi与复数z＝a－bi对应的点有什么关系？ 答案：复数z＝a＋bi对应的点为(a，b)，复数＝a－bi对应的点为(a，－b)，两点关于x轴对称．特别地，当b＝0时，两点重合． 向量a＝(1，－2)所对应的复数的共轭复数是(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－2＋i A　解析：因为复数与向量一一对应，所以向量a＝(1，－2)所对应的复数为z＝1－2i，所以z＝1＋2i．故选A． 知识点一 复数与复平面内的点的关系 求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件？ (1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x轴上方． 解：(1)点Z在复平面的第二象限内， 则解得a＜－3． (2)点Z在x轴上方，则 即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3． [探究1]　本例中题设条件不变，求复数z对应的点Z在x轴上时，实数a的值． 解：点Z在x轴上，a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5． 故a＝5时，点Z在x轴上． [探究2]　本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值． 解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上， 所以＋a2－2a－15＋7＝0， 即＋(a－4)(a＋2)＝0， 整理得(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±． 所以a＝－2或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上． 复数与复平面内的点的关系 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征． 当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点： (1)位于第四象限内； (2)位于x轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)? 解：(1)要使点位于第四象限内，需 ∴∴－7<m<3． (2)要使点位于x轴负半轴上，需 ∴∴m＝4． (3)要使点位于上半平面(含实轴)，需m2＋3m－28≥0， 解得m≥4或m≤－7． 知识点二 复数与复平面内的向量的关系 (1)已知M(1，3)，N(4，－1)，P(0，2)，Q(－4，0)，O为复平面的原点，试写出，，，所表示的复数； (2)已知复数1，－1＋2i，－3i，6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量； (3)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数． 解：(1)表示的复数为1＋3i； 表示的复数为4－i； 表示的复数为2i； 表示的复数为－4． (2)设复数1对应的向量为，其中A(1，0)； 复数－1＋2i对应的向量为，其中B(－1，2)； 复数－3i对应的向量为，其中C(0，－3)； 复数6－7i对应的向量为，其中D(6，－7)．如图所示． (3)记O为复平面的原点，由题意得＝(2，3)，＝(3，2)，＝