7.1.1 数系的扩充和复数的概念（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

7．1　复数的概念 7．1．1　数系的扩充和复数的概念 课程标准 核心素养 1．通过方程的解，了解引进复数的必要性． 2．认识复数，理解复数的基本概念及复数相等的充要条件． 1．能认识复数，理解复数的基本概念．(数学抽象) 2．会求复数相等的充要条件．(数学运算) 1．复数的有关概念 定义 表示方法 复数 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部 复数集 全体复数所构成的集合叫做复数集 通常用大写字母C表示 (1)两个复数一定能比较大小吗？ 答案：不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小． (2)复数z＝a＋bi的虚部b可以为零吗？ 答案：可以．当b＝0时，z为实数． 2．复数的分类 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 实数集R与复数集C有什么关系？ 答案：实数集R是复数集C的真子集． 用C，R和I分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有(　　) A．C＝R∩I B．R∩I＝{0} C．R＝C∩I D．R∩I＝∅ D　解析：由复数的概念可知R⊂C，I⊂C，R∩I＝∅．故选D． 3．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0． 当两个复数的实部与虚部分别相等，则两个复数相等． (1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝0，则a＋b的值为多少？ 答案：0． (2)若复数z1＝3＋ai(a∈R)，z2＝b＋i(b∈R)，且z1＝z2，则a＋b的值为多少？ 答案：因为z1＝z2，所以a＝1，b＝3，故a＋b＝4． 如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　　) A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1 C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0 A　解析：∵(x＋y)i＝x－1，∴∴x＝1，y＝－1．故选A． 知识点一 复数的概念 下列命题： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④实数集是复数集的真子集． 其中正确的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ D　解析：对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误．两个虚数不能比较大小，则②错误．对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，则③错误．显然，④正确． 对复数的概念的理解 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． (多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法不正确的是(　　) A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2 C．若b＝0，则a＋bi为实数 D．i的平方等于1 ABD　解析：对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数； 对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1； 对于D，i的平方为－1． 故选ABD． 知识点二 知识点二　复数的分类 实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零． 解：z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i． (1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z∈R． (2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数． (3)当即k＝4时，z是纯虚数． (4)当即k＝－1时，z＝0． 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0；③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0． 实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：(1)当x满足即x＝5时，z是实数． (2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数． (3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数． 知识点三 两个复数相等