6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 课程标准 核心素养 1．能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题． 2．巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法． 1．会运用正弦、余弦定理解决与三角形有关的距离问题．(数学运算) 2．运用正、余弦定理求解高度与角度问题．(逻辑推理) 1．基线的概念与选择原则 基线的定义 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线 选择基线的原则 在测量过程中，为使测量工具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度，一般来说，基线越长，测量的精确度越高 2．应用举例中的几类特殊角 角的名称 相关概念 仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示) 方向角 (1)正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上．依此可类推正北方向、正东方向和正西方向． (2)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示) 李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？ 答案：东南方向． 若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　) A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北45°50′方向上 C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上 C　解析：如图所示．故选C． 3．解三角形应用题 (1)解题思路 (2)基本步骤 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下： ①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)； ②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型； ③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解． 如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在点A的同侧，且B点不可到达，如何求出点A，B的距离？ 答案：A，B，C三点之间可视，AC间的距离可测，故可测出∠A，∠C和AC，解三角形求AB． 两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间的距离为(　　) A．a km B．a km C．a km D．2a km A　解析：△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a．故选A． 4．三角形的面积公式 在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则 (1)ha＝b sin C＝c_sin_B，hb＝c sin A＝a_sin_C，hc＝a sin B＝b_sin_A； (2)S＝aha＝bhb＝chc； (3)S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A． 三角形的面积公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B适合求任意三角形的面积． 在△ABC中，已知C＝60°，b＝4，则BC边上的高等于(　　) A． B．2 C．4 D．6 D　解析：BC边上的高等于b sin C＝4×＝6． 知识点一 距离问题 (1)海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　) A．10海里 B．海里 C．5海里 D．5海里 (2)如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝15°，∠BCD＝120°，则两景点B与C的距离为________ km． (1)D　解析：根据题意，可得如图所示．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10， ∴C＝45°．由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．故选D． (2)　解析：在△ABD中由余弦定理：AD2＝BA2＋BD2－2BA·BD cos ∠ABD， 即49＝BD2－5BD＋25，解得：BD＝8． 在△BCD中由正弦定理：＝，得：BC＝． 求两个不可到达的点之间的距离的方法 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是： (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形． (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解． 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，