6.4.3 第2课时 正弦定理（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

第2课时　正弦定理 课程标准 核心素养 1．借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2．掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题． 1．通过对任意三角形边角关系的探索，证明正弦定理．(逻辑推理) 2．运用正弦定理解三角形．(数学运算) 1．正弦定理 正弦 定理 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径 符号语言 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆的半径) 正弦定理 定理变 形形式 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)＝＝＝ ； (5)S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C对吗？ 答案：不对．根据正弦定理，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C． 在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　) A． B． C． D． C　解析：由正弦定理得，＝，所以＝．故选C． 2．利用正弦定理可以解两类有关三角形的问题 (1)已知两角及一边，解三角形； (2)已知两边及一边的对角，解三角形． A为锐角 A为钝角或直角 或直角图形 关系式 a＝b sin A b sin A< a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 知识点一 正弦定理的证明 在钝角△ABC中，证明正弦定理． 证明：如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点， 根据正弦函数的定义知： ＝sin ∠CAD＝sin (180°－A)＝sin A，＝sin B． ∴CD＝bsin A＝asin B． ∴＝．同理，＝． 故＝＝． 对正弦定理的证明过程的理解 (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使学生理解更深刻，记忆更牢固． (2)要证＝，只需证asin B＝bsin A，而asin B，bsin A都对应CD．初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高分析解题能力． 如图所示，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R． 证明：连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C， 则圆周角∠A′＝∠A． ∵A′B为直径，长度为2R， ∴∠A′CB＝90°， ∴sin A′＝＝， ∴sin A＝，即＝2R． 知识点二 已知两角及一边解三角形 已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B． 解：根据正弦定理，得a＝＝＝10． 又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°． 所以b＝＝＝20sin 75° ＝20×＝5(＋)． 已知两角及一边解三角形的注意点 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长． 解：因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°， 因此角B最小，所以b为最短边， 由正弦定理＝， 得b＝＝＝，故所求的最短边长为． 知识点三 已知两边及其中一边的对角解三角形 在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形． 解：∵＝， ∴sin C＝＝＝， ∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°． 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1． ∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°． [探究]　若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 解：∵＝，∴sin A＝＝＝． ∵c＝>2＝a，∴C>A． ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为， ∴这样的角A只有一个． 已知两边及其中一边的对角解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值； (2)用三角形内角和定理求出第三个角； (3)根据正弦定理求出第三条边． 其中进行步骤(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值． 在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A，C和c． 解：由正弦定理＝，知sin A＝＝， ∵b<a， ∴A＝60°或A＝120°． 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， ∴c＝＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， ∴c＝＝＝． 故