6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

6．3．5　平面向量数量积的坐标表示 课程标准 核心素养 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算． 2．能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直． 1．会进行平面向量数量积的坐标运算．(数学运算) 2．能利用坐标运算判断向量垂直．(逻辑推理) 平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ． 数量积的坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 模长的坐 标表示 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2 或|a|＝． 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则a＝(x2－x1，y2－y1)， |a|＝ 垂直的坐标表示 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 夹角的坐标表示 cos θ＝＝ (1)若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？ 答案：不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°． (2)已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？ 答案：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±(，)＝±(，)，其中正号、负号分别表示与a同向和反向． 易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直， 所以与a垂直的单位向量b0的坐标为 ±(，)，其中正、负号表示不同的方向． 已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________． 2　解析：由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2． 知识点一 平面向量数量积的坐标运算 (1)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 (3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6，3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为________． (1)A　解析：由＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，得·＝(2，1)·(3，－1)＝5．故选A． (2)C　解析：由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4．故选C． (3)(3，4)或(4，3)　解析：因为2b＝(a＋2b)－a＝(6，3)－(2，－1)＝(4，4)，所以b＝(2，2)．设c＝(x，y)，则由题可知解得或所以c＝(3，4)或c＝(4，3)． 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解． (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 B　解析：a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10． (2)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝MC，BN＝BC，则·＝________． 5　解析：方法一　以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，则A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，于是＝(1，2)，＝(3，1)，故·＝5． 方法二　·＝(＋)·(＋)＝·＋2＋2＋· ＝0＋×22＋×32＋×0＝5． 知识点二 向量的夹角及模长的坐标表示 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1)． (1)试计算a·b及|a＋b|的值； (2)求向量a与b夹角的余弦值． 解：(1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)， b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)， ∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1， |a＋b|＝＝＝． (2)设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cos θ， 得cos θ＝＝＝． [探究]　将本例(2)条件改为“已知|a|＝1，b＝(0，2)，且a·b＝1”，求向量a与b夹角的大小． 解：因为|a|＝1，b＝(0，2)，且a·b＝1， 设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝．又因为θ∈[0，π]，则θ＝．所以向量a与b夹角的大小为． 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)