6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

6．3．4　平面向量数乘运算的坐标表示 课程标准 核心素养 1．掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用坐标表示平面向量共线的条件． 2．掌握三点共线的判断方法． 1．会进行数乘向量的坐标运算．(数学运算) 2．会进行三点共线的判断．(数学抽象) 1．平面向量数乘运算及向量共线的坐标表示 类型 坐标表示 语言叙述 平面向量的数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)， 则λa＝(λx，λy) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线 a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)的形式 向量平行(共线)的用途是什么？ 答案：利用向量平行(共线)可以证明向量共线、三点共线，解决有关平行问题． (1)判断正误． ①若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝．(　　×　　) ②若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b．(　　×　　) ③若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b．(　　√　　) 解析：①当y1y2＝0时不成立． 两向量共线的坐标表示为x1y2－x2y1＝0，故②错，③正确． (2)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，那么向量3b－a的坐标是(　　) A．(－4，2) B．(－4，－2) C．(4，2) D．(4，－2) D　解析：3b－a＝3(1，0)－(－1，2)＝(4，－2)．故选D． 2．中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式． 已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________． (－1，3)　解析：根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1，3)． 知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示 已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－4)，c＝(－2，6)，试求a＋3b，3a－2b＋c． 解：因为a＝(1，2)，b＝(3，－4)，c＝(－2，6)， 所以a＋3b＝(1，2)＋3(3，－4)＝(1，2)＋(9，－12)＝(10，－10)， 3a－2b＋c＝3(1，2)－2(3，－4)＋(－2，6)＝(3，6)－(6，－8)＋(－1，3)＝(－4，17)． 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b． 解：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)． (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1) ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)． (3)a－b＝(－1，2)－(2，1) ＝－＝． 知识点二 向量共线的判定与证明 (1)下列各组向量中，共线的是(　　) A．a＝(－2，3)，b＝(4，6) B．a＝(2，3)，b＝(3，2) C．a＝(1，－2)，b＝(7，14) D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4) (2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ (1)D　解析：A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0， ∴a与b不平行； B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0， ∴a与b不平行； C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行； D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，故选D． (2)解：因为＝(2，4)，＝(1，2)，2×2－4×1＝0， 所以∥，因为＝(2，6)，＝(2，4)，所以2×4－2×6≠0， 所以A，B，C三点不共线，所以直线AB与直线CD不重合，所以AB∥CD． 三点共线的条件及判断方法 (1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则A，B，C三点共线的条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0． (2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法： ①直接利用上述条件，计算(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)是否为0； ②任取两点构成向量，计算出两向量，如，，再通过两向量共线的条件进行判断． 已知A(1，－3)，B，C(9，1